 |
Описание систем в пространстве состояний
|
|
|
|
Развитие высококачественных систем управления потребовало разработки новых методов их анализа и синтеза.
Современная теория управления, основу которой заложили известные работы Л.С.Понтрягина, Р.Беллмана и Р.Калмана, базируется на описании систем в пространстве состояний. Описание в пространстве состояний представляет собой общий взгляд на любые системы и пригодно для исследования и проектирования сложных систем с многими входами и выходами, то есть многомерных и многосвязных систем. С математической точки зрения анализ систем в пространстве состояний означает использование методов матричного исчисления и векторного анализа.
Понятие состояния является определяющим в современной теории управления.
Под состоянием системы понимается минимально-необходимый набор переменных величин системы x1,x2,...,xn, способных однозначно и единственным образом определить положение системы в любой момент времени t. Совокупность переменных величин x1,x2,...,xn образует n-мерное пространство состояний Rn. Вектор с компонентами x1,x2,...,xn называется вектором состояния.
Рассмотрим систему (рис.10.1) с m входами (u1,u2,...,um), r выходами (y1,y2,..., yr) и n переменными координатами (x1,x2,...,xn).
Рис. 10.1. Модель системы
Поведение системы во времени можно характеризовать не только выходными величинами, но и промежуточными переменными координатами в цепи системы - переменными состояния xi, число которых равно порядку системы n. Таким образом, получается n-мерный вектор состояния X, множество возможных положений которого образует векторное пространство, называемое пространством состояний системы Rn. Величина и положение вектора состояния системы с течением времени t изменяются, в результате чего вектор X(t) описывает кривую, называемую траекторией движения системы в пространстве состояний.
|
|
|
В общем случае обыкновенных линейных систем, описываемых системой дифференциальных уравнений в нормальной форме, рассматриваемая система может быть определена следующей векторно-матричной формой
, (10.1)
где X - вектор состояния системы, Y - вектор выходных управляемых величин, U - вектор внешних воздействий (задающих и возмущающих), а именно:
, 
, 
;
А, В, С, D - матрицы системы.
Система уравнений (10.1) является стандартным описанием систем управления в пространстве состояний.
Уравнения (10.1) несут большой объем информации о динамических свойствах системы с m входами и r выходами при t0 £ t £ T.
Первое уравнение из (10.1) определяет динамические характеристики системы и представляет собой компактную запись системы n линейных дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производных первого порядка (нормальная форма Коши)
при i=1,2,...,n, (10.2)
где aij и bij - постоянные коэффициенты.
Второе уравнение из (10.1) является уравнением выхода системы и представляет собой компактную запись системы r линейных алгебраических уравнений
при i=1,2,...,r, (10.3)
где cij и dij - постоянные коэффициенты.
В стандартной форме описания (10.1)
- матрица системы;
- матрица управления;
- матрица наблюдения;
- матрица связи.
Матрица системы A, элементы которой определяются структурной схемой системы и значениями ее параметров, характеризует динамические свойства системы, ее свободное движение. Матрица управления B характеризует влияние внешних воздействий на переменные состояния системы, т.е. определяет чувствительность системы к внешним воздействиям (задающим и возмущающим). Матрица наблюдения C характеризует связь выходной величины системы с вектором состояния. Обычно не все составляющие вектора состояния являются наблюдаемыми сигналами, т.е. могут быть измерены с помощью каких-либо датчиков, в то время как выходной сигнал всегда наблюдаем. Матрица связи D устанавливает связь выходной величины системы с внешним воздействием.
|
|
|
Таким образом, четверка матриц A, B, C, D полностью определяет систему управления.
Матричные методы дают возможность обращаться с n уравнениями подобно тому, как это делается с одним уравнением.
На рис.10.2 показана структурная схема системы управления, соответствующая стандартной форме описания систем в пространстве состояний; двойные линии на рисунке характеризуют векторные связи. Следует иметь в виду, что выбор переменных состояния это неоднозначная операция.
Значение начального состояния X(t0) и входного воздействия U(t) достаточны для того, чтобы однозначно и единственным образом найти выходную величину Y(t) на интервале времени t0 £ t £ T, т.е. определить значения Y(t) в текущий момент и предсказать поведение ее в будущем.
Таким образом, стандартное описание систем управления в пространстве состояний позволяет однозначно определить выходную величину системы по известному внешнему воздействию и начальному состоянию системы.
Рис. 10.2. Структурная схема системы в векторной форме:
ò - блок интеграторов; A,B,C,D - блоки матричных усилителей
Уравнения переменных состояния представляют собой наиболее полное математическое описание динамики системы с несколькими входами и выходами и позволяют выработать подход для решения различных классов задач теории управления с единых позиций.
Рассмотрим методику составления векторно-матричных дифференциальных уравнений для систем с одним входом и одним выходом, передаточная функция которых задается выражением (6.31) (см. Раздел 6). Получение уравнений, описывающих скалярную систему в общем виде, изложено в разделе 6.7. Для перехода к описанию в пространстве состояний переменные xi в системе уравнений (6.35) и (6.36) можно рассматривать как составляющие вектора состояния X, а задающее воздействие g принять за внешнее u. В этом случае система уравнений (6.35) и (6.36) соответствует стандартной форме описания систем управления в пространстве состояний (10.1). При этом матрицы А, B, C, D имеют следующий вид:
|
|
|
- матрица системы, (10.4)
имеющая такую структуру называется сопровождающей или матрицей Фробениуса;
- матрица управления; (10.5)
- матрица наблюдения; (10.6)
- матрица связи. (10.7)
В реальных системах управления степень полинома числителя передаточной функции меньше степени полинома ее знаменателя, поэтому bo=0 и ряд коэффициентов bi оказывается равным нулю. Единица в первом элементе матрицы C соответствует тому, какая из переменных x1,x2,...,xn, попадает на выход. В данном случае с выхода системы снимается одна переменная x1.
|
|
|
