 |
Математические методы описания дискретных систем
|
|
|
|
Дискретные системы автоматического управления.
Основные положения.
К дискретным системам относятся импульсные системы регулирования и системы, включающие в себя цифровую вычислительную машину (ЦВМ).
Импульсная система регулирования отличается от непрерывной наличием в канале управления импульсного элемента, преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.
 |
f(t)
|
Ä
g(t) T x(t)
На рисунке импульсный элемент ИЭ установлен в канале управления, который является каналом ошибки. Последовательность импульсов с периодом Т поступает на непрерывную часть системы с передаточной функцией W(S). Как и ранее g(t) - входное воздействие, x(t)- регулируемая величина, ε(t)- ошибка САР, f(t)- возмущение.
Форма импульсов, генерируемых импульсным элементом, вообще говоря, оказывает влияние на динамику системы регулирования. Однако, в том случае, когда длительность импульсов мала по сравнению со временем переходного процесса непрерывной части, можно пренебречь влиянием, как формы импульса, так и принципа модуляции (амплитудная или широтная).
В этом случае последовательность реальных импульсов может быть заменена последовательностью δ -функций, модулируемых по площади. Реакция непрерывной части на каждый такой импульс представляет в этом случае ее весовую функцию (импульсную переходную характеристику), умноженную на коэффициент, равный площади импульса.
Огромные вычислительные и логические возможности ЭВМ определяют большие перспективы их использования при управлении объектами. Они вводятся в систему регулирования, когда требуется обрабатывать большие объемы информации и когда на ЭВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления.
|
|
|
В наиболее схематическом виде система регулирования с ЭВМ изображена на рисунке.
Здесь g1, g2,…gn -входные воздействия.
x1, x2, x3…xn -регулируемые величины.
u1, u2, u3…un - выходные управляющие воздействия.
f1, f2, f3…fn - возмущения.
Рассмотрение системы со многими регулируемыми величинами представляет собой весьма громоздкую задачу. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда ЭВМ вводится в одиночный контур с одной регулируемой величиной х и одним входным воздействием g, к которому могут быть сведены многие практические задачи.
 |
АЦП γ ε1 ЦАП ε2 ε3 ε4
АПЦ
Здесь: АЦП- преобразователь аналог-код;
ЦАП- преобразователь код-аналог;
Т - период дискретности ЭВМ;
Wо(s) - передаточная функция объекта;
D(z)- алгоритм работы ЭВМ;
τ - временное запаздывание, вносимое ЭВМ;
Wэ(s)- передаточная функция экстраполятора.
Обычно экстраполирующее устройство представляет собой фиксатор, удерживающий выходной сигнал ЭВМ на одном уровне в течение такта работы машины. Этот случай, так называемого экстраполятора нулевого порядка, является наиболее распространенным. В более сложных случаях экстраполятор может внутри такта работы машины изменять выходной сигнал по линейному закону (экстраполятор первого порядка), по закону квадратичной параболы (экстраполятор второго порядка) и т.д.
Нелинейность, вносимая входными и выходными преобразователями, может быть представлена в виде нелинейных статических характеристик релейного типа. Они представляют собой многоступенчатую релейную характеристику. Число уровней характеристики m связано с числом двоичных разрядов n зависимостью.
m=2n-1
Во входных преобразователях число разрядов обычно велико (10 - 20). Поэтому влиянием нелинейности АЦП часто можно пренебречь.
|
|
|
Во входных (ЦАП) преобразователях число разрядов бывает обычно малым, достигая в пределе одного. Это объясняется тем, что выходной преобразователь установлен, по существу, в канале ошибки САР, поэтому нелинейность выходного преобразователя может оказывать влияние на динамику замкнутой САР с ЭВМ. И это надо учитывать.
Во многих случаях представляется возможным пренебречь влиянием нелинейностью выходных преобразователей. Это позволяет свести САР с ЭВМ к линейной импульсной системе и воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета таких систем.
В простейшем случае, когда на ЭВМ возлагается задача определения ошибки 
=g-x необходимо положить на структурной схеме D(z)=1. При использовании т.н. дискретной коррекции на ЭВМ возлагается задача улучшения динамических характеристик САР. В этом случае D(z)¹1.
На схеме наиболее простой способ использования ЭВМ в САР. Возможны более сложные случаи комбинированного управления, когда ЭВМ формирует выходной сигнал в функции не только ошибки =g-x но и вводит дополнительно сигнал пропорциональный скорости и ускорению изменения входного воздействия g/(t) и g//(t). Могут встречаться и иные схемы.
Математические методы описания дискретных систем
Решетчатые функции
Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой t, можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t1,t2… Такие функции называют решетчатыми. Мы будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t=nT, где n - любое целое число, а T - постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать f[nT].
f[ nT]
 |
-3Т -2Т -Т 0 Т 2Т 3Т
Любой непрерывной функции f(t) можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t в виде
t=nT+eT (0£e£1)
При каждом фиксированном значении переменной e функцию f(nT+eT) можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках eT, (e+1)T, (e+2)T,… Такие функции называются смещенными решетчатыми функциями. Для них принято обозначение f(nT+eT)=f[nT, eT]. Изменяя e в пределах от 0 до 1, можно получить множество смещенных решетчатых функций f[nT, eT], соответствующих данной непрерывной функции f(t).
|
|
|
f[t]
f[nT,0]
-T 0 T 2T 3T
f[nT,ε1T]
ε1T
f[nT,ε2T]
ε2T
Благодаря непрерывности функции f(t), функция f[nT, eT] является непрерывной по аргументу e и удовлетворяет условию:
f[(n-1)T, T]=f[nT, 0]
Если функция f(t) терпит разрыв непрерывности первого рода в точках t=nT, то написанное равенство не выполняется поскольку
lim f[(n-1)T, eT] ¹ lim [nT, eT]
e®1 e®0
В этом случае под значением функции будем понимать предел справа.
f[nT] = lim f[nT, eT]
e®0
|
|
|
