 |
Построение низкочастотной части ЛЧХ
|
|
|
|
В общем случае передаточная функция разомкнутой дискретной системы может быть представлена в виде
.
Рассмотрим построение ЛЧХ для 
, определяемой непрерывной частью системы, а для D(z) рассмотрим ниже.
Построение будем проводить в функции псевдочастоты l=2/T·tg(
T/2) раздельно для области низких частот 
и для области высоких частот 
.
Пусть непрерывная часть системы описывается передаточной функцией, соответствующей системе с астатизмом второго порядка
, (1)
С экстраполятором нулевого порядка
Wэ(S)=(1-e-TS)/s
Примем, что все постоянные времени знаменателя дают сопрягающие частоты меньше чем 2/T,то есть Ti>T/2 (i=1,2...q). Это предположение приводит к тому, что все изломы асимптотической ЛАХ расположены в низкочастотной области, для которой справедливо неравенство T< 2.
Разложим (1) на простые дроби
, (2)
где Ni – коэффициенты разложения;
KTo = KW - условная добротность по скорости;
.
На основании результата полученного ранее, можно записать
|
|
где di=e-T/ Ti (i=1,2..q),
получим:
Перейдем к дискретной частотной передаточной функции заменой z на w и w=jlT/2
В результате получим
Так как было принято, что Ti>T/2, то
|
Сравнение последнего выражения с (2)показывает, что частотные передаточные функции Wон(jlT/2) и Wо(j ) в низкочастотной области совпадают. Так как было принято, что T<2, то влияние дополнительного множителя (1-jlT/2) в (3)можно не учитывать при построении ЛАХ низкочастотной области.
Совпадение ЛЧХ для дискретной и исходной передаточной функции непрерывной части в области низких частот дает большие удобства в формировании низкочастотной части ЛАХ, проектируемой системы и позволяет использовать методику, изложенную выше для непрерывных систем.
|
|
|
Построение высокочастотной части цифровых систем с экстраполятором нулевого порядка.
Рассмотрим построение логарифмических частотных характеристик в области высоких частот при >2/T. Введем следующие ограничения.
1. Величина обратная периоду дискретности T, больше половины частоты среза ЛАХ непрерывной части системы, то есть 1/T> 
/2 или ср<2/T.
Данное неравенство приходится выполнять практически во всех случаях в связи с требованием по устойчивости и запасу устойчивости.
2. Если рассматривать передаточную функцию непрерывной части в виде
где K[с-r] – общий коэффициент усиления;
r – степень астатизма,
то все постоянные времени T1..Tn можно разделить на две группы. К первой группе, T1..Tq отнесем те из них, которым соответствуют сопрягающие частоты меньше 2/T (большие постоянные времени). Они участвуют в формировании низкочастотной части логарифмических характеристик в соответствии с изложенным выше.
Ко второй группе Tq+1..Tn отнесем те постоянные времени, которым соответствуют сопрягающие частоты, большие, чем 2/T (малые постоянные времени), причем для каждой постоянной времени второй группы должно выполняться неравенство
Ti<T/2 (i=q+1,..n)
3. Постоянным времени t1... tm соответствуют сопрягающие частоты меньше частоты 2/T, и они участвуют в формировании низкочастотной части ЛАХ, ЛФХ. Это требование не относится к тем постоянным времени числителя, которые были введены для компенсации в непрерывной части некоторых полюсов передаточной функции и поэтому после сокращения одинаковых множителей не вошли в окончательное выражение (1).
4. Пересечение вертикальной прямой =2/T асимптотической ЛАХ непрерывной части происходит при отрицательных наклонах 20дб/дек и 40дб/дек.
|
|
|
Рассмотрим сначала случай, когда пересечение вертикальной линии =2/T происходит при отрицательном наклоне -20дб/дек. Тогда в области высоких частот ( =2/T) передаточная функция непрерывной части при отсутствии временного запаздывания может быть представлена в виде
,
где 
=(Kt1t2...tm)/(T1T2...Tq) - представляет собой базовую частоту высокочастотной части ЛАХ, определяемую как частота пересечения ее первой асимптоты с осью нуля децибел. Причем должно выполняться условие
m=q+r-1
В частном случае базовая частота ов может совпадать с частотой среза ЛАХ ср. Это будет, например, когда коэффициент усиления для ЛАХ поднят на столько, что ось нуля децибел пересекается последней асимптотой низкочастотной части.
Аналогично предыдущему найдем дискретную передаточную функцию переходом к псевдочастоте по формулам:
Wо (z)=(z-1)/z·Z{W0(s)/s},
z =(1+w)/(1-w),
l=2/T tg( T/ 2), w=jlT/2.
Учитывая, что
получим в результате
.
Так как Ti<T/2, можно положить 
. 
Учитывая, что SNi= –STi= –TS получим в результате
.
Это выражение и может быть использовано для построения ЛАХ.
Начало ЛАХ в высокочастотной области сливается с концом ЛАХ в низкочастотной области в точке l=2/T.
|
Результирующий фазовый сдвиг равен
|
arctg(ltk) - 
arctg(lTi) - 2arctg(lT/2) +arktg 
В результате при построении высокочастотного хвоста ЛАХ приходится учитывать сумму малых постоянных времени TS и дополнительный множитель
(1-jlT/2). Последний приводит к нулевому наклону ЛАХ и дает дополнительный сдвиг фазы в отрицательную сторону равный arc tg(lT/2).
Если пересечение вертикальной линии =2/T асимптотической ЛАХ непрерывной системы происходит с наклоном –40дб/дек, то в области высоких частот 
>2/T вместо (2)имеем
Здесь TS=Tq+1+...Tn
ов2=(Kt1t2.. tm)/(T1T2..Tq), причем m=q+r - 2
Переходя к дискретной частотной передаточной функции будем иметь
|
(1- jlt1)[1/(jl)2 - TS/ jl + 
].
|
Здесь Tэ2= Tq+12 +Tq+22 +...+Tn2.
|
|
|
Поскольку T S T/2 > Tэ2,
1+jl(T/2- T S)-(jl)2(T S T/2- Tэ2)»(1+ jlT/2)(1- jlT S).
Окончательно
.
Это выражение и должно использоваться для построения высокочастотной части ЛАХ и ЛФХ. На частоте l=2/T происходит сопряжение низкочастотной и высокочастотной частей характеристик.
Результирующее выражение для частотной передаточной функции разомкнутой системы, которой можно пользоваться для построения ЛАХ и ЛФХ во всем частотном диапазоне имеет вид
|
Фазовый сдвиг для этой передаточной функции равен
|
Особенности построения ЛАХ колебательных звеньев не рассматриваем. При необходимости самостоятельно. В.А.Бесекерский “Динамический синтез САР” М.Наука 1970.
|
|
|
