Отличия функции системы от математической функции

После сделанных уточнений мы еще с большим основанием имеем право считать, что функтор, будучи глубоко адаптированной функционирующей системой, может рассматриваться как преобразователь материала в субстанцию путем навязывания материалу вполне определенной формы, ибо, как мы видели, даже качественные преобразования материала сводимы к структурным, если качества элементарных воздействий функтора на элементы материала согласованы нужным образом с качеством этих элементов.

Теперь, для уточнения глубины параллелизма между функцией системы и математическим понятием функции, определим, правомерно ли рассматривать аргументы как аналоги материала, результирующие значения зависимой переменной – как аналоги субстанции, а функцию в математическом смысле – как аналог формы, навязываемой материалу.

Принципиально ничто не может выступать в роли материала, если оно не наделено качественными свойствами, и элементарное воздействие возможно лишь при качественной специализации функтора на материал данного качества. Только при соблюдении этих требований свойства субстанции можно варьировать изменением одной лишь формы как схемы переходов от позиций в структуре материала к позициям в структуре субстанции, причем эти свойства субстанции также будут распадаться на качественные и структурные.

Теперь представим, что вместо рассмотрения реального функтора мы хотим ограничиться рассмотрением только соответствующей ему математической функции.

Чтобы оценить результаты такого сопоставления, остановимся прежде всего на способах сообщения, перечисления, выражения свойств объектов.

Любое свойство может быть выражено, названо средствами естественного языка или обозначено условным знаком. Однако обратим внимание на то, что для качественных свойств этот способ выражения является единственным, тогда как структурные свойства, форма объектов, т.е. структура соотношений между компонентами этих объектов, может быть не только названа или условно обозначена, но и отражена в структуре отношений между названиями или знаками этих компонентов. Иными словами, качественные свойства и их изменения должны промысливаться исследователем при обращении к описанию ситуации преобразования материала в субстанцию, тогда как структурные свойства объекта можно, если это необходимо, превращать в наблюдаемые структурные свойства самого описания, и тот, кто потом знакомится с описанием, получит сведения о структурных свойствах не по названиям, а непосредственно из анализа структурных свойств описания как самостоятельного объекта.

Поскольку структура как математическая функция – это схема переходов от элементов одной совокупности к элементам другой совокупности, то нетрудно добиться полного тождества между этой функциональной структурой и структурой переходов от перечня простых условий функтора к перечню простых следствий или же от элементов условий к элементам следствий, причем это тождество может быть не только названным или условно обозначенным, но и буквальным, например, тождеством сети переходов, представленных в пространстве.

Но эта структура математической функции, тождественная структуре переходов в реальном функторе, оказывается отражением, выражением лишь структурной характеристики функции. Функция функтора как причина приобретения материалом новой формы не исчерпывается структурной характеристикой, и поэтому математическая функция не может быть отождествлена с функцией функтора.

Однако и в самой математической функции эту структуру перехода не удается истолковать как ту форму, которая навязывается значениям аргументов как элементам материала для превращения их в конечную субстанцию в виде значений зависимой переменной. Ведь у каждой линии в схеме перехода от значений аргумента к результирующим значениям зависимой переменной нет и не может быть качественных свойств, согласованных с качественными свойствами аргументных элементов, ибо последние тоже не могут в математической функции иметь каких-либо качественных свойств.

Элементы функции – это просто «места входов» в стрелках, обозначающих переходы, а переходы – тоже не преобразования, а лишь нечто, о чем утверждается, что оно имеет свойство направленности, и не более. Значение зависимой переменной – это констатация того факта, что стрелка переходов имеет определенный пункт окончания.

Если теперь соотнести математическую функцию с реальным функтором и словесно или символически выразить, каковы качественные свойства начальных пунктов перехода и какова качественная природа самого перехода, то мы получим не математическую функцию, а одну из бесконечного числа возможных ее интерпретаций. Интерпретированная функция становится описанием соответствующего функтора, но как математическое понятие она не приобретает способности быть, например, преобразователем того, что попадает на ее вход; представления о различии материала и субстанции, о навязывании материалу формы для превращения его в субстанцию, о переходе как процессе превращения и вообще как о каком-либо процессе – все это чуждо функции как математическому понятию, ибо все названные характеристики появляются только при определенной интерпретации функции, они лишь называются и примысливаются «входам», «выходам» и «переходам» математической функции и при иной интерпретации могут не иметь ничего общего с представлениями о данной функционирующей системе. Математическая функция остается мертвым скелетом, схема которого изоморфна, подобна схемам взаимосвязи и взаимодействий не одного, а целого класса функторов, которые выступают либо как отражение надстроечных компонентов некоторых реальных систем, либо интересуют нас как абстрактные образы. Поэтому одна и та же математическая функция помогает нам зафиксировать как «динамические» характеристики описываемого математически объекта, если отражаемая функцией схема ставится в соответствии с направлениями перемещений, потоков или сил, характерных для этого объекта, так и «статические», если мы соотносим ее со схемой «перемычек» между элементами моделируемого объекта или со схемой «каналов», по которым в объекте протекают потоки взаимодействий. Ранее мы уже отмечали, что надстроечные компоненты системы, будучи выразителями структурных (валентностных и позиционных) характеристик базовых компонентов, не исчерпывают сведений даже о структурных возможностях базовых компонентов, так как отражают лишь регулярно проявляющиеся, экстенциальные взаимодействия, не давая никаких представлений об интенциальных и, тем более, потенциальных валентностях и структурах, присущих базовым компонентам как материальным единицам. Таким образом, надстроечные компоненты системы, даже если они представляют собой реальную ступень ее устройства, констатируя реализованные структуры, не могут прогнозировать основной массы структурных потенций системы. Если же эти надстроечные компоненты отражены лишь в математических функциях, то возможности такого прогноза еще более сужаются, хотя существенно облегчается процесс выведения тех свойств, которые основаны на формальной математической комбинаторике.

Поскольку мы уточнили отношение между функцией как математическим понятием и функцией как ролью системы в надсистеме, то, используя термин «функциональный», например, функциональный подход, функциональное описание, будем, если необходимо, добавлять уточняющее определение: формально-функциональный и системно-функциональный.