Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Итерационные методы решения линейных алгебраических систем

Метод простой итерации или метод Якоби

Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как:

где , , .

Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (a_ii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x₁, второе относительно x₂ и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде:

(1),

Теперь, задав нулевое приближение , по рекуррентным соотношениям (1) можем выполнять итерационный процесс, а именно:

(2)

Аналогично находятся следующие приближения , где в (2) вместо необходимо подставить .

Или в общем случае:

. (3)

или

Условие окончания итерационного процесса .

Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. , то итерационный процесс (3) сходится при любом выборе начального приближения. Если исходная система уравнений не удовлетворяет условию сходимости, то ее приводят к виду с диагональным преобладанием.

Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут или .

Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись.

Пример.

Решить систему линейных уравнений с точностью :

				x₁
=		=	=	x₂
	–2			x₃

Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:

Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: , , .

Приводим систему уравнений к виду (1):

Начальное приближение . Дальнейшие вычисления оформим в виде таблицы:

k	x₁	x₂	x₃	точность

	1.250	1.000	0.400	1.2500
	0.650	0.170	0.225	0.8300
	1.109	0.565	0.239	0.4588
	………
	0.908	0.287	0.180	0.2781
	1.061	0.419	0.185	0.1537
	0.994	0.326	0.165	0.0931
	1.046	0.370	0.167	0.0515
	1.023	0.594	0.160	0.2235
	0.913	0.582	0.212	0.1101
	0.906	0.505	0.242	0.0764
	0.937	0.495	0.229	0.0305
	0.945	0.516	0.218	0.0210
	……
	0.937	0.523	0.220	0.0077

Здесь

И т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что произойдет на 13 – ой итерации.

Следовательно, приближенное решение имеет вид:

Метод Гаусса – Зейделя

Расчетные формулы имеют вид:

т.е. для подсчета i –й компоненты (k +1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k +1)–м шаге, новые значения первых i –1 компонент.

Подробные формулы имеют вид:

Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание:

Начальное приближение:

Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя.

Расчетные формулы:

k	x1	x2	x3	точность

	1.250	0.250	0.075	1.2500
	1.106	0.321	0.132	0.1438
	1.056	0.340	0.151	0.0500
	1.042	0.344	0.156	0.0139
	1.039	0.346	0.157	0.0036

Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы.

Расчетная часть(задание на курсовой проект)

Исходные данные: Табл. 1

№ вар	№ Сх.	БУ/U_Б,кВ	Нагрузки	Генераторы	Линии	Транс-ры
P_HМВт/cosφ_H	L,км	S_ном, МВА/ U_номВ,кВ/ U_номН,кВ/ P_к,кВТ/ P_хх,кВТ/ u^к,% / I_хх, %
			P_rМВт cosφ_r	Л1	Л2	Л3
		40/0,85	100/0,65	160/0,55	180/0,8	180/0,8	230/220/10/450/130/11/0,55