Итерационные методы решения линейных алгебраических систем
⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 6 Метод простой итерации или метод Якоби Напомним, что нам требуется решить систему линейных уравнений, которая в матричном виде записывается как: где Предположим, что диагональные элементы матриц A исходной системы не равны 0 (aii ≠ 0, i = 1, 2, …, n). Разрешим первое уравнение системы относительно x1, второе относительно x2 и т.д. Получим следующую эквивалентную систему, записанную в скалярном виде: Теперь, задав нулевое приближение
Аналогично находятся следующие приближения Или в общем случае: или Условие окончания итерационного процесса Достаточное условие сходимости: Если выполнено условие диагонального преобладания, т.е. Выбор начального приближения влияет на количество итераций, необходимых для получения приближенного решения. Наиболее часто в качестве начального приближения берут Замечание. Указанное выше условие сходимости является достаточным, т.е. если оно выполняется, то процесс сходится. Однако процесс может сходиться и при отсутствии диагонального преобладания, а может и не сойтись. Пример. Решить систему линейных уравнений с точностью
Решение прямыми методами, например, обратной матрицей, даёт решение:
Найдем решение методом простой итерации. Проверяем условие диагонального преобладания: Приводим систему уравнений к виду (1): Начальное приближение
Здесь И т.д., пока не получим, в последнем столбце величину меньшую 0.01, что произойдет на 13 – ой итерации. Следовательно, приближенное решение имеет вид: Метод Гаусса – Зейделя Расчетные формулы имеют вид: т.е. для подсчета i –й компоненты (k +1)–го приближения к искомому вектору используется уже вычисленное на этом, т.е. (k +1)–м шаге, новые значения первых i –1 компонент. Подробные формулы имеют вид: Достаточное условие сходимости этого метода такое же, как и для метода простой итерации, т.е. диагональное преобладание: Начальное приближение: Найдем решение предыдущей системы уравнений методом Гаусса – Зейделя. Расчетные формулы:
Из таблицы видно, что нужная точность достигнута уже на 5–ой итерации вместо 13–ой по методу простой итерации и значения корней более близки к значениям, полученным методом обратной матрицы. Расчетная часть(задание на курсовой проект) Исходные данные: Табл. 1
Рис.1. Исходная схема энергосистемы
Рис. 2 Схема замещения данной энергосистемы
Рис.3 Направленный граф данной энергосистемы
Рис 4.Схема замещения ЛЭП
Табл.2
Рассчитаем параметры энергосистемы: Расчет трансформатора:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|