Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Локализация собственных значений. Круги Гершгорина.

Пусть A = () — произвольная квадратная матрица n -го порядка и λ — некоторое ее собственное значение. Тогда |A−λE| = 0, т.е. A−λE —вырожденная матрица. Следовательно для нее не могут выполняться все условия Адамара, т.е. должно иметь место хотя бы одно из неравенств |λ − | ≤ , i = . Каждое из неравенств |λ − | ≤ , i = определяет некоторый круг в комплексной λ -плоскости радиуса с центром в точке , называемый кругом Гершгорина. Поэтому справедлива теорема Гершгорина. Каждое собственное значение λ матрицы A = () всегда расположено в одном из кругов |λ − | ≤ , i = .

Таким образом, объединение всех кругов Гершгорина дает некоторую область локализации собственных значений матрицы A, т.е. область, в которой заведомо лежат все собственные значения матрицы A. Каждый критерий регулярности приводит к своей области локализации собственных значений. Так, например, исходя из условий

Адамара для столбцов, мы получим область локализации в виде объединения n кругов

|λ − | ≤ , i = .

27.+ Произведение треугольных матриц.

Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:

или

Верхняя треугольная матрица и нижняя треугольная матрица.

Треугольные матрицы обладают следующими свойствами:

1. Сумма треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования; при этом диагональные элементы матриц складываются.

2. Произведение треугольных матриц одного наименования есть треугольная матрица того же наименования.

3. При возведении треугольной матрицы в целую положительную степень ее диагональные элементы возводятся в эту же самую степень.

4. При умножении треугольной матрицы на некоторое число ее диагональные элементы умножаются на это же самое число

Можно ли разложить квадратную матрицу в произведение двух

треугольных? Допустим, что

() = () ()

Приравнивая соответствующие элементы этого равенства получим:

= , a 12 = b 11 c 12, a 13 = b 11 c 13,

a 21 = b 21 c 11, a 22 = b 21 c 12 + b 22 c 22, a 23 = b 21 c 13 + b 22 c 23,

a 31 = b 31 c 31, a 32 = b 31 c 12 + b 32 c 22, a 33 = b 31 c 13 + b 32 c 23 + b 33 c 33,

откуда, предполагая, что b 11 c 11 b 22 c 22 ≠ 0 получим

= , = , = , = , = , = ,

= , = , =

Отсюда видно, что задавая произвольным образом b 11 ≠ 0, b 22 ≠ 0, мы однозначно выразим все элементы матриц в правой части (5.1.1) через элементы матрицы A, кроме b 33 и c 33, которые задаем произвольно, лишь бы b 33 c 33 = a 33 −b 31 c 13 −b 32 c 23. Итак, если b 11 c 11 b 22 c 22 ≠ 0, то справедливо разложение (5.1.1). Какие условия надо наложить, чтобы b 11 c 11 b 22 c 22 ≠0? Так как a 11 ≠0 тогда и только тогда, когда b 11 c 11 ≠0, то остается посмотреть, когда b 22 c 22 ≠0. Обозначим = , = ().

Введем аналогичные обозначения для матриц B и C. Если (5.1.1) выполняются, то нетрудно видеть, что A 2 = B 2 C 2. Но тогда |A 2 | = |B 2 ||C 2 | = b 11 b 22 c 11 c 22. Поэтому, если |A 1 | 0, |A 2 | 0, то b 11 b 22 c 11 c 22 ≠ 0. Итак, справедлива теорема 5.1.1. Если ≠ 0, ≠ 0, то справедливо разложение (5.1.1).

Эта теорема легко обобщается на матрицы любого порядка.

Теорема 5.1.2. Какова бы ни была квадратная матрица A = (aij) порядка n с отличными от нуля главными минорами

≠ 0, ≠ 0,...,

ее всегда можно разложить в произведение A = BC ˙, (5. 1. 2) где B и C — соответственно левая и правая треугольные матрицы.

До к а з а т е л ь с т в о. Заметим, что если разложение (5.1.2) существует, то оно будет заведомо не единственным. В самом деле, запишем (5.1.2) в следующем виде:

A – BD C, где D — диагональная матрица. Тогда матрицы BD и C будут снова треугольными прежнего строения. Покажем теперь, что матричное уравнение (5.1.2) имеет решение. Пусть и — элементы матриц B и C. Приравнивая между собой элементы матрицы A и произведения BC, получаем = . Отсюда следует: b 11 c 11 = a 11; b 11 c 11 = a 11; c 1 j = , bi 1 = , j = 2, 3 ,..., n; = − , i = 2, 3 ,..., n, cij = , bji = , i =2,3,...,n, j = i +1, i +2 ,..., n. (5.1.3)

Итак, уравнение (5.1.2) будет наверняка иметь решение, если все числа bii и cii (i = 1, 2 ,..., n − 1) не равны нулю. Предположим, что = 0 при некотором k. Из (5.1.3) вытекает, что в этом случае возможно осуществить лишь разложение = ,

где , , — матрицы угловых миноров k -го порядка матриц A, B и C. Далее находим | | = | |˙| | = =0. Это противоречит предположению теоремы, следовательно, все числа и (i = 1, 2 ,..., n− 1) не равны нулю и разложение (5.1.2) имеет место.

28.+ Унитарные матрицы. Примеры. Свойства.

Матрица A с элементами из поля комплексных чисел C называется унитарной, если она удовлетворяет уравнению = E, где A* — матрица, сопряженная с A, т.е. A* = , черта означает операцию комплексного сопряжения, T — операция транспонирования матрицы. Если унитарная матрица является вещественной, то наше определение превращается в определение ортогональной матрицы. Таким образом, унитарность — обобщение ортогональности на случай матрицс комплексными элементами. Соотношение = E можно переписать в виде = , i,k = 1, 2 ,..., n, где — символ Кронекера. Если обозначить i -ю строку матрицы A через (i = ), то через скалярное произведение последнее соотношение запишется как (, )= = .

Таким образом, унитарная матрица — это такая матрица, у которой

строки ортогональны и каждая строка имеет единичную длину. Из равенства = E следует, что A* = , поэтому A*A = A = E. Следовательно,

= , i,k = 1, 2 ,..., n.

Это означает, что столбцы матрицы A ортогональны, а каждый столбец

имеет единичную длину.

Унитарные матрицы обладают следующими свойствами.

1. Если A — унитарная матрица, то ее определитель есть комплексное число, по модулю равное единице. Действительно, det () = det (A) detA* = det (A) det () = (det (A))² = 1, откуда |det (A) | = 1 (здесь для определителя матрицы A использовано обозначение det (A), чтобы не спутать с обозначением модуля числа).

2. Если A — унитарная матрица, то A* = . Это утверждение вытекает непосредственно из раенства = E после умножения обеих его частей слева на .

3. Если A — унитарная матрица, то A* тоже унитарна.

4. Произведение двух унитарных матрице есть матрица унитарная. В

самом деле, если A и B — унитарные, то (AB)(AB) * = ABB* A* = AEA* = E.

5. Унитарная матрица порядка n имеет n взаимно ортогональных собственных векторов с характеристическими числами, по модулю равными единице.

29.+Эрмитовы матрицы. Примеры. Свойства.

Матрица A называется эрмитовой, если она удовлетворяет равенству

A = . Эти матрицы характеризуются такими соотношениями между элементами:

= (5. 4. 1) Матрицы отражения являются эрмитовыми, так как = ∗ = E − 2 = E − 2 w = U.

Эрмитовы матрицы обладают следующими свойствами.

1. Если A — эрмитова, то ее определитель — действительное число.

Действительно, |A| = | | = | | = | | = .

2. Если A эрмитова, то A− 1 также эрмитова. В самом деле, = = .

3. Произведение двух перестановочных эрмитовых матриц является эрмитовой матрицей. Действительно, если A и B эрмитовы и AB = BA, то AB = BA = = (.

4. Если матрица A эрмитова, то любая унитарно ей подобная матрица также эрмитова. В самом деле, пусть B = AU, где U — унитарная матрица. Тогда = A = AU = B.

5. Эрмитова матрица порядка n имеет n взаимно ортогональных собственных векторов с действительными собственными значениями.

Для любой квадратной матрицы A и любых векторов-столбцов x и y (A x, y) = A x = x = (x, y).

В случае, когда матрица A эрмитова, это дает (A x, y) = (x, A y). Полагая y = x, получим

(A x, x) = (x, A x) = .

Таким образом, для эрмитовой матрицы скалярное произведение (A x, x) есть действительное число. Среди эрмитовых матрицособое место занимают положительно

определенные матрицы.

Определение 5.4.1. Эрмитова матрица A называется положительно определенной, если скалярное произведение (A x, x) > 0 для любого вектора x ≠ 0.

Ввиду того, что (A x, x) = A x = есть комплексная квадратичная форма от переменных , ,..., с матрицей A, то эрмитова матрица с матрицей A является

положительно определенной тогда и только тогда, когда положительно

определенной является квадратичная форма с матрицей A, т.е. когда для любых комплексных чисел , ,..., , не равных нулю одновременно, > 0.

Собственные значения положительно определенной матрицы строго положительны.

Действительно, пусть u — собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному значению λ, т.е. A u = λ u, причем u ≠ 0. Так как A положительно определена и u ≠ 0, то (A u, u) = (λ u, u) = λ (u, u) > 0. Поскольку для u ≠ 0 выполняется (u, u) = > 0, то из последнего неравенства следует, что λ > 0. Матрицы вида

A = B, где B — прямоугольная матрица с линейно независимыми столбцами,

являются положительно определенными.

30. + Критерии регулярности и поляризация собственных значений.

Пусть A = () — произвольная квадратная матрица порядка n с

комплексными элементами. Допустим, что эта матрица вырождена, т.е.

|A| = 0. Тогда столбцы матрицы линейно зависимы, т.е. существуют

числа , ,..., , не равные нулю одновременно такие, что линейная комбинация этих векторов равна нулю:

т.е. = 0, i =

Пусть k ∈ { 1, 2 ,..., n} таково, что | | = max {| |, | |,..., | |}. Так

как не все = 0, то | | > 0. Для выбранного k, в частности, = 0. Но тогда

| || | = | | ≤ ≤ . Сокращая на , получаем

Таким образом, справедлива теорема Адамара. Если для квадратной матрицы n-го порядка выполняются n неравенств | | | | > 0 i = , то матрица A является невырожденной. Условие > 0 означает, что модуль диагонального элемента строго больше суммы модулей всех остальных элементов i -й строки. Такой элемент называется доминирующим для своей строки. Условие Адамара требует, чтобы все диагональные элементы матрицы A были доминирующими для своих строк.

Теорема 6.1.2. Если выполняются условия Адамара | | | | > 0 i = , то для модуля определителя A справедлива следующая оценка снизу: mod|A| ≥ ... > 0. (6. 1. 3)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вспомогательную матрицу F = (), где = , i,j = для которой | − = ( − i = .(6. 1. 4) Пусть — собственное значение этой матрицы, которому соответствует собственный вектор x = . Пусть k таково, что | | = max {| |, | |,..., | }, причем | | > 0. Тогда F x = x. Приравнивая k -ю координату, получим = . Из этого равенства с учетом соотношений (6.1.4) получаем

| || | = | | | | | | | | | | | ( |) = | |. Сокращая на | |, найдем | | ≥ 1.

Но определитель |F| равен произведению собственных значений матрицы F. Каждое из них по модулю больше или равно единицы. Поэтому и mod|F| ≥ 1. (6. 1. 5) С другой стороны, |F| = . (6. 1. 6) Подставляя (6.1.6) в неравенство (6.1.5), получим искомое неравенство (6.1.3). Отметим, что для класса матриц, удовлетворяющих условиям

Адамара с заданными значениями ... , оценка (6.1.3) не улучшаема, поскольку при A = () неравенство (6.1.3) превращается в равенство.

Замечание 6.1.1. Так как |A| = | |, то заменяя матрицу A транспонированной матрицей , получаем достаточные условия невырожденности матрицы A в виде условий Адамара для столбцов ≡ − > 0, i = . (6. 1. 7) При выполнении этих условий вместо (6.1.3) получится оценка mod|A| ≥ ... . (6. 1. 8)

Пусть C — произвольная невырожденная квадратная матрица n -го порядка. Тогда матрицы A и AC одновременно являются невырожденными. Поэтому в условиях (6.1.2), (6.1.7), а также в оценках (6.1.3), (6.1.8) можно матрицу A заменить на матрицу AC. Варьируя матрицу C, будем получать различные (не эквивалентные между собой) достаточные условия невырожденности, а также оценки для |A|, аналогичные (6.1.3)

и (6.1.8). В частности, с помощью подбора надлежащей матрицы C можно осуществить произвольную перестановку столбцов. Тогда вместо условий (6.1.2) получим условия

= > 0, i = , где (, ,..., ) — фиксированная, но произвольная перестановка индексов 1, 2 ,..., n. Итак, справедлива теорема. Матрица A = () является невырожденной, если в каждой ее строке имеется доминирующий (не обязательно диагональный) элемент и эти n доминирующих элементов расположены

в различных столбцах. Аналогичный результат имеет место для столбцов

31.Матричные уравнения AX=XB.

Рассмотрим матричное уравнение AX = XB, где А и В -- заданные матрицы

(вообще говоря, разных порядков), X – искомая прямоугольная матрица:

A , B , X ,

Рассмотрим элементарные делители(в поле С) матрицы А:

, ,..., , +...+ = m

И элементарные делители(в поле С) матрицы В:

, ,..., , +...+ = n

Через и обозначим жордановы нормальные формы матриц А и В, а через U и V -- соответствующие матрицы перехода:

A = U , B = V .

Тогда:

= diag{ ,..., }, + +...+ = m,

= diag{ ,..., }, + +...+ = n

Здесь

+ =[ ]

-- жардановы клетки матрицы А,

= -- единичная матрица,

= -- нильпотентная клетка Жордана порядка l.

Теорема. Общее решение уравнения AX=XB, где A ,

A = U , B = V .

= diag{ ,..., }, + +...+ = m,

= diag{ ,..., }, + +...+ = n,

может быть найдено по формуле

X = U

Здесь -- общее решение уравнения

= [ ], , = = .

Если , то = 0, , то произвольная правильная верхняя треугольная матрица.

Матрица X зависит о т N произвольных параметров :

X = , где N = , = deg НОД , },

= = .

Заметим, что которое получатся из X, если параметру присвоить значение единица, а остальным -- нуль, является частным решением уравнения 3.1. Для ненулевого решения X частные решения линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений. Действительно, если это не так, тогда сущствует неотрицательная линейная комбинация то есть при ненулевых значения параметра матрица X, а значит, и равны нулю, что невозможно.

Следствие. Если матрицы А и В не имеют одинаковых собственных значений, то уравнене AX=XB имеет только нулевое решение, то есть X=0.

32.Матричные уравнения AX−XB = С

Пусть дано уравнение AX−XB = С, где A , B , C , X ,

Это матричное уравнение эквивалентно системе m*n линейных уравнений относительно элементов матрицы X.

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение AX−XB =0. Из теоремы об общем решении уравнения AX−XB = С следует, что если матрицы A и B не имеют одинаковых собственных значений, то уравнение AX−XB = 0 имеет только нулевое решение, а значит AX−XB = С имеет единственное решение. Если же матрицы А и В имеют одинаковые значения, то в зависимости от С возможны два варианта:

1) Уравнение не имеет решения.

2) X = + , где -- произвольное частное решение уравнения AX−XB = С,

а -- общее решение уравнения AX−XB = 0.

⇐ Предыдущая 12

Воспользуйтесь поиском по сайту: