Используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Тема: Элементы высшей алгебры Комплексные числа. Решение алгебраических уравнений – важнейшая задача математики. Стремление сделать разрешимыми уравнения различных типов приводит к необходимости расширения понятия числа.
Вид уравнения Тип числа ____ Множество: x + a = b отрицательные и 0 a x = b дробные ====== > Q - рациональных чисел x 2 = 2 иррациональные =======> R - действительных чисел x2 + 1 = 0 комплексные ========= > C -комплексных чисел Корень уравнения х2 = - 1 наз. мнимой единицей и обозначается символом i (Эйлер). Символ i определяетсяусловием i 2 = - 1. Опр. Комплексным числом наз. выражение вида а + b i, где а, b Обозначения: a + b i = z, a = Re z -действительная часть КЧ, b i = Im z -мнимая часть КЧ, b -коэффициент мнимой части. При а = 0 имеем чисто мнимое число, при b = 0 - действительное число. КЧ z = a + b i и z* = a – b i наз. сопряженными, а форма записи КЧ алгебраической. Пр. Решим уравнение x2 – 2x + 5 = 0. x1,2 = (2 Таким образом, корнями квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом являются сопряженные КЧ.
Равенство КЧ. a + b i = c + d i означает равенство коэффициентов: a = c, b = d Сложение КЧ. (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i -означает раздельное сложение вещественных и мнимых частей. (Это два определения.) Пр. z1 = 2 – 3i, z2 = 1 + 4i, z1 + z2 = 3 + i, z + z* = 2 a Умножение КЧ. (a + b i) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i Это обычное перемножение двучленов с учетом i 2 = - 1. Пр. z1 z2 = 14 + 5 i, z z* = (a + b i) (a - b i) = a2 + b2 т. е. произведение сопряженных КЧ есть число действительное. Деление КЧ. Частным от деления двух КЧ z1 / z2 является третье КЧ z3, произведение которого на делитель дает делимое z3 z2 = z1 Для того чтобы разделить два КЧ необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на КЧ сопряженное знаменателю
a + b i = (a + b i) (c – d i) = (a c + b d) + (b c – a d) i c + d i (c + d i) (c – d i) c2 + d2 Пр. z1 / z2 = - 10/17 - 11/17 i Степени i. i1 = i i4 n + 1 = i i2 = - 1 i4 n + 2 = - 1 Пр. i24 = 1, i59 = i 56+ 3 = - i i3 = - i i4 n + 3 = - i i4 = 1 i4 n = 1 Геометрическая интерпретация КЧ. Действительному числу соответствует точка на числовой оси, а КЧ a + b i соответствует точка M (a;b) на координатной плоскости или её радиус-вектор
| z | = r = Аргументом КЧ z = a + i b (Arg z) наз. угол Arg z = arg z + 2 k Алгоритм вычисления аргумента: 1) найти острый угол Пр. Найти аргумент z = 1 – i
Сложение двух КЧ геометрически означает сложение двух радиус-векторов.
Тригонометрическая форма КЧ. Коэффициенты КЧ (a + b i) можно выразить через его модуль и аргумент: { cos и записать КЧ в форме z = r [ cos ( которая наз. тригонометрической формой КЧ
Пр. Записать число z = - Находим модуль r = [ (- Пр. Записать число z = 2 (cos 3300 + i sin 3300 ) в алгебраической форме. cos 3300 = cos (3600 – 300) = cos 300 = тогда a = 2 ( При перемножении и делении двух КЧ в тригонометрической форме z1 = r1 (cos используют тригонометрические формулы для суммы и разности двух углов и получают z1 z2 = r1 r2 (cos (
z1 / z2 = r1/ r2 (cos ( z n = [r (cos
Умножение КЧ теперь сводится к умножению их модулей и сложению аргументов, а деление КЧ к делению модулей и вычитанию аргументов. Появление n решений при извлечении корня связано с тем, что все значения Arg z = ( Пр. Пусть arg z = 400, тогда Arg z = arg z + 2k z z2 z1/2 z1/4 Показательная форма КЧ. Существует формула Эйлера exp (i z = a + i b = r (cos (I) (II) (III) В алгебраической форме (I) КЧ удобно складывать и вычитать, а в тригонометрической форме (II) и в показательной (Ш) умножать, делить.
r1 exp (i r1 exp (i (r exp i (r exp i
Пр. Пр. Вычислить (- 81)1/.4 . Решение (- 81)1/ 4 = (- 1 81)1/4 = = 3 (cos ( z0 = 3(cos
z2 = 3 (cos ( z3 = 3 (cos ( Решения изображают 4 вектора с r = 3
Таблица 1. 00 300 450 600 900 sin 0 1/2 cos 1 Таблица 2
sin sin cos cos Пр. Даны z1 = 12 (cos 2250 + i sin 2250), z2 = 3/2 (cos 750 + i sin 750). Найти z1 z2, z1 /z2 z1 z2 = 18 (cos (2250+ 750) + i sin (2250 + 750)) = 18 (cos(3600 – 600) + i sin(3600 – 600)) = = 18 (cos 600 - i sin 600) = 18 (½ - i z1/ z2 = 8 (cos (2250– 750) + i sin(2250 – 750)) = 18 (cos (1800 – 300) + i sin (1800– 300)) =
= 8 (- cos 300 + i sin 300) = 8 (- Опорные конспекты лекций.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|