Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 30. Интеграл от дифференциала функции дает функцию плюс константа. 40. Постоянный множитель выносится за знак интеграла. 50. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.
60. Инвариантность формы неопределенного интеграла: Переменную интегрирования х можно заменить в интеграле на произвольную дифференцируемую функцию u=u(x), т.е. если Док-во. Заменим х на u(x) в первообразной F(x). Получаем сложную функцию F(u(x)). Её дифференциал обладает свойством инвариантности формы: d [F(u(x))] = F`x dx = F`udu, т.е. приращение функции dF получаем в результате изменения либо dx, либо du. Проинтегрируем это равенство
Пр. Непосредственное интегрирование. В наиболее простых случаях после некоторых преобразований функции интеграл удается свести к набору табличных интегралов или представить подынтегральное выражение как дифференциал некоторой функции, например, dx = 1/a d(ax + b), x2 dx = 1/3 d(x3), cos 2x dx = d(sin 2x /2), 1/x dx = d(ln x). Такой прием интегрирования наз. н епосредственным.
Пр.
Метод замены переменных. Всякую подынтегральную функцию f(x) можно представить как сложную, если ввести новую переменную интегрирования t, а такжепрямую и обратную зависимости x = g (t), t = g-1 (x)
Вспомогательный интеграл по новой переменной t может оказаться более простым для вычисления. После его вычисления делаем обратную замену t = h(x) и получаем решение для исходного интеграла. Пр. = Замена переменных происходит по правилу: из равенства двух величин (t = sin x) следует равенство их дифференциалов (dt = d(sin x)), т.е. приращений; дифференциал функции равен её производной умноженной на дифференциал аргумента (d(sin x) = (sin x)`dx = cos x dx). Основной метод вычисления интегралов – поиск подходящей замены переменных и сведение их к табличным интегралам. Каждому типу функций соответствует свой вид замены переменных и их надо знать. Линейная замена: t = ax + b. Пр. Общее правило: если
Метод подведения под знак дифференциала (5) В некоторых случаях в подынтегральном выражении простой множитель перед dx можно рассматривать как производную от некоторой функции u (x),но u` (x) dx = du (x)и тогда переменной интегрирования оказывается функция u (x).Если и остальную часть подынтегрального выражения представить как функцию от u (x), то переходим к новой переменной интегрирования. Пр.
Случай f(x) = u`(x)/u(x). Если числитель подынтегральной функции равен или пропорционален производной от знаменателя, то интеграл равен логарифму знаменателя.
Пр.
Интегрирование по частям. Пусть u = u(x), v = v(x) -непрерывные функции, тогда d(uv) = udv + vdu. Проинтегрируем это равенство и получим формулу интегрирования по частям.
Она позволяет вычисление интеграла
Применение: пусть f(x) = P(x)A(x), где P(x) = a xn + b xn-1 +...+ c, A(x) -функция другого типа. Если A(x) = ekx, ax, sin kx, cos kx, то u = P(x), dv = A(x) dx Если A(x) = loga x, arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x, то u = A(x), dv = P(x) dx Пр. = x sin x + cos x + C. Проверка: (x sin x + cos x + C)` = x cos x
Рациональные алгебраические дроби. Основная теорема алгебры: Pn(x) = xn + an–1xn+1 + an-2xn+2 +... + a0 = (x - a1) (x - a2)... (x - an) { Пр. ax2 + bx + c = a(x –x1)(x – x2) } Полином n – ой степени всегда можно представить как произведение n двучленов (x - ai), где ai -корни полинома. Корни могут быть действительными числами, комплексными числами, кратными. Комплексные корни входят сопряженными парами a = a + ib, a* = a - ib и произведение (x - a)(x - a*) = (x – a – ib)(x – a + ib) = (x – a)2 + b2 = x2 + px + q, где D < 0, включает только действительные числа. В общем случае Pn(x) = (x - a1)k1(x - a2)k2... (x2 + p1x + q1)r1..., где k1+k2+...+2(r1+r2...) = n. Рациональная алгебраическая дробь
Выделение целой части: 1) 2) деление полиномов уголком
Простейшие дроби: Интегрирование простейших дробей: 1) J1 = ò 2) J2 = ò 3) J3 = ò 1. трехчлен приводят к полному квадрату x2+px+q = (x+p/2)2 + (q–p2/4); 2. замена переменных t = x + p/2; 3. переход к сумме двух интегралов вида Ja = 4) J4 = ò J `a = Пр. J =
Решение: 1) x2 + 2x + 10 = x2 + 2x + 1 + 9 = (x + 1)2 + 32 ; 2) пусть t = x + 1, тогда x = t – 1, dx = dt, x2 + 2x + 10 = t2 + 32, 3) J = = 3/2 ln| x2 + 2x + 10| + 2/3 arctg (x – 1)/3 + C Пр. J = = Разложение дроби на простейшие. А) Корни знаменателя алгебраической дроби - действительные числа. Тогда он разлагается на произведение только двучленов Rm(x) = (x - a1)(x - a2)2(x - a3)3.. и дробь можно представить как сумму m простейших дробей. Однократному корню соответствует одна дробь
Действительно, сложение простейших дробей приведет к общему знаменателю Rm(x), а в числителе образуется некоторый полином Tn(x). При определенных значениях коэффициентов А, Bi, Ci Tn(x) = Pn(x). Такое разложение дроби на сумму простейших дробей наз. м етодом неопределенных коэффициентов.
Вычисление коэффициентов. 1 способ. Приравняем коэффициенты в Tn(x) и Pn(x) при одинаковых степенях х, получим полную систему n линейных уравнений, решение системы дает А, Bi, Ci Пр.2. x1 | A + B = 2 Þ A = -5 x0 | -2A – B = 3 Þ B = 7 2 способ. В уравнении Tn(x) = Pn(x) последовательно заменяем х на ai и сразу получаем значения коэффициентов. В Пр.2. пусть х = 1, тогда 5 = - A Þ A = -5 пусть х = 2, тогда 7 = B Þ B = 7
Б) Корни знаменателя алгебраической дроби - сопряженные комплексные числа. Тогда он разлагается на произведение трехчленов x2+px+q, где D < 0, и дробь можно представить как сумму простейших дробей. Однократному трехчлену соответствует одна дробь Пр.3. x2 | A + M = 0; x1 | N – M = 2; x0 | 4A - N = 1 Þ A = 3/5; M = -3/5; N = 7/5.
Интегрирование тригонометрических функций. Интегралы типа Используем метод подведения функции под знак дифференциала
= Пр.
Интегралы типа Метод понижения степени по формулам sin2x = ½ (1 – cos 2x); cos2x = ½ (1 + cos 2x); sin x cos x = ½ sin 2x или замена tg x = t (см. ниже) Пр.
Интегралы типа
sin a cos b = ½[sin(a+b) + sin(a-b)]; cos a cos b = ½[cos(a+b) + cos(a-b)] sin a sin b = ½[cos(a-b) – cos(a+b)] Пр.
Интегралы типа
cos2x = Пр. = t2/2 - ½ Пр. Универсальная замена tg x/2 = t в интегралах
и приходим к интегралу от рациональной алгебраической дроби. { sin x = 2sin x/2 cos x/2 = 2 cos x = cos2x/2 – sin2x/2 = cos2x/2 (1 - Пр. = 2
Интегрирование иррациональных функций. Опр. Функция наз. иррациональной, если она содержит аргумент, различные корни из аргумента и выражения с аргументом. Пр. Интегралы типа Для всех показателей корней найдемНОК (k1, k2,..., km) = n, тогда все n/ki -целые числа и подстановка x = tn исключит все корни. Пр. J = = = 6(t3/3 - t2/2 + t) – 6 ln |t + 1| + C = 2 x1/2 - 3 x1/3 + 6 x1/6 Линейная иррациональность Находим НОК(k1, k2,..) = n, подстановка ax + b = tn, тогда dx = (n/a)tn – 1dt, x =(tn – b)/a и функция становится рациональной. Пр. J =
Дробно-линейная иррациональность Находим НОК(k1, k2,..) = n, делаем подстановку Пр. J = = 2 J = ¼ { ln| t –1 | - ln| t+1 | - (t – 1)-1 – (t + 1)-1 } + C
Интегралы типа Наличие элемента xm – 1dx позволяет подвести функцию axm+ b под знак дифференциала xm-1dx=(1/mа)d(axm + b), а замена axm+ b= tn избавляет от иррациональности. Тогда xm-1dx = n tn-1dt/am и все xm = (tn - b)/a. Пр. J = = ¾ ½
Квадратичные иррациональности.Тригонометрические подстановки. (17) А) т.е. под корень входит х2 .
А) t = arcsin (x/a), dx = a cos t dt
Б) t = arctg (x/a), dx = a dt / cos2 t В) t = arcos (a/x), dx = - a sin t dt / cos2 t Пр. J = =
Пр. J = = 8
Пр. J = = - = - ¼ [ arcos (2/x) + ½ sin (2(arcos(2/x))) ] + C
Квадратичные иррациональности.Общий случай. (18) Интегралы типа 1) Привести трехчлен к полному квадрату: ax2 + bx + c = a[ x2 + px + q ] = = a[ x2 + 2x(p/2) + (p/2)2 - (p/2)2 + q] = a [ (x + p/2)2 + (q – p2/4) ], где p = b/a, q = c/a. 2) Замена переменных: пусть x + p/2 = z, тогда ax2 + bx + c = |a|{ ± z2 + (q – p2/4)} и переходим к одному из трех случаев: А), Б), В) Пр. J = = = -4 Þ A = B = D = ¼, C = - ¼; J = - { ln
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|