 |
Частотные характеристики САР
|
|
|
|
Их понятие следует из преобразований Фурье, являющегося частным случаем преобразования Лапласа. Аналогично ему преобразование Фурье представляет собой функциональное преобразование
F(jw)=∫f(t)e-JWt,dt
о
Заметим, что частотная характеристика получается из изображения функции по Лапласу, в котором Р заменяют на jco. Например, изображение по Фурье функции
Если на выход звена подать сигнал Хвх = Авх * sin ωt, то по окончании переходного процесса в звене на его выходе установится тот же гармонич сигнал, но с амплитудой Авх = ΔХ2 и отставание его по фазе на угол ср.
Хвх=Авых* sin(wt+φ)
Хвх
Зависимость отклонения амплитуды гармонических колебаний на выходе системы или звена к амплитуде колебаний на его выходе от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ).
A(w) = Авых / Авх
Зависимость разности фаз выходных входных гармоничных колебаний называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ).
φ(w) = φ вых - φ вх
Отношение выходного гармоничного сигнала звена или системы к входному гармоническому сигналу, выраженная в комплексной форме называется амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) или частотной передаточной функцией.
АФХ объединяет АЧХ и ФЧХ и является комплексной функцией частоты и как видное комплексное число м.б. представлено в 3-х формах записи:
1) в виде суммы вещественной и мнимой частей
W(jω) = Re(ω)+jJm(ω)
2) в тригонометрической форме
W (jω) = А(ω) * [cos(φ (ω) + jsin(φ(ω)]
3) в показательной форме
W(jω) = A*ω*ejф(ω) Т.к, согласно теореме Эйлера:
cos(ω) +jsin(φ(ω)) = ejф(ω) приведенных формулах А(ω) - модуль,φ(ω) - фаза
причем:
Пример
Построить АФХ системы, описываемой дифф. уравнениями:
|
|
|
Преобразуем с учетом того, что J2 = - 1
Избавимся от мнимости в знаменателе, умножив его на сопряженное
Подставляя в Re и Jm значения ω от 0 до °°, находим координаты точек на комплексной плоскости, кот являются концами векторов, проведенных из начало координат, соединяя эти концы векторов плавной
кривой, получили АФХ.
w 0 0.01 0.02 0.03
Re(w) 40 30 +16 +6
Im(w) 0 -19 -24 -20
0.04 0.05 0.06
+4 -1.1 -2.3
-16.7 -13.3 -10
График АФХ строится по известным АЧХ и ФЧХ:
|
| lm(w) |
| *■*• W |
Типовые звенья САР и их характеристики
Различают 5 основных типов звеньев:
1) усилительные;
2) апериодические;
3) колебательные;
4) дифференцирующее;
5) интегрирующее.
Усилительное звено
Называется звено, у которого величина на выходе пропорцианальна величине на входе.
Уравнение усилительного звена
Хвых - К * Хвх
изменение входной величины изменение выходной величины
Передаточная функция усилит, звена
W(p) = К Wjw) = К; Re(w) = К; Im(w) = 0.
Устойчивое апериодическое звено 1 порядка
- такое звено, у кот при скачкообразном изменении величины на входе, величина на выходе апериодически стремится к новому установившемуся значению.
Диф. уравнение звена
| Т* |
dXXвы /dt+ ТХХвы=КХвх
Wp = K/(Tp+l) 
Примеры: пассивный электр. датчик t-ры; некоторые теплообменники, могут быть RC-фильтры и h-C фильтр.
б) Неустойчивое апериодическое звено 1-го порядка
Отличается от устойчивого только знаком " - " перед входной величины Т*dXХых/dt-Xвых = КХвх - диф. уравнение
W(p) = K/(Tp-l) - передаточная функция
|
Колебательное звено Устойчивое колебательное звено при скачкообразном изменении входной величины
Постоянная времени Т1 характеризует процесс затухания колебаний выходной величины, const T2 характеризует их раскачивание.
Если T1/T2≤2то это колебательный процесс 1 -го порядка,
T1/T2≤2-
апериодический 2-го порядка.
|
|
|
Простейшим примером колебательного звена может служить колебательный контур, а также поплавковый и диф. манолитры.
Дифференцирующее звено
В котором величина на входе пропорциональна 1 -ой производной от величины на выходе, т.е. величина на входе пропорциональна скорости изменения величины на выходе и есть диф звено. Переходная функция диф. звена
W(p) = К*Р
АФХ W(jw)=jwt/(1 + jwT)
Alm(w)
|
| Re(w) |
ФЧХ q>(w) = П/2-arctgwT
|
АЧХ A(w)= Wt/ Vi+ w2r:
w
Примером дифференциального звена является конденсатор и RC и LC фильтры.
Интегрирующее звено
- такое звено, в котором величина на входе пропорциональна интегралу по времени от величины на выходе, т.е. скорость изменения величины на выходе пропорциональна величине на входе. Диф уравнение интегрирующего звена:
Хввы = K/T*X ввхt
График итегрир. звена
Хвых = K*t
|
| X в ы x |
t
Передаточные функции итегр. звена
АЧХ A(w) = K/W
-»-
Примером интегрир. звена является маломощные электродвигатели у которых угловая скорость строго пропорциональна напряжению, приложенному к якорю.
Звено запаздывания
Звено, у кот выходная величина точно воспроизводит входную, только с некоторым запаздыванием по времени
ФЧХ Хвых = Хвх(t-τ)
|
Передаточная функция
W(p) – e-pτ
| jwτ |
АФХ W(jw) = e –
Re(w)
АЧХ A(w) = 1
A
|
|
|
