Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Алгебраические критерии устойчивости

Критерий Гурвица

В 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем был разработан алгебраический критерий устойчивости систем, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Гурвица сформулирован таким образом – если все коэффициенты характеристического уравнения системы (2.20.) положительны(a_n > 0)и положительны все определители Гурвица, то система устойчива.

При составлении определителей Гурвица применяются следующие правила:

Из коэффициентов уравнения (2.20.) составляется матрица коэффициентов

По главной диагонали матрицы выписывают все коэффициенты от a_п-1 до a₀ в порядке убывания индекса

Дополняют столбцы матрицы вверх от диагонали коэффициентами с последовательно убывающими, а вниз – с последовательно возрастающими индексами

В случае отсутствия коэффициента, а также если их индексы больше n или меньше 0, на места коэффициентов ставят нули.

В результате получаем матрицу коэффициентов следующего вида:

(2.24.)

Определители Гурвица составляются на основании матрицы коэффициентов (согласно пунктирным линиям матрицы (2.24.) и имеют следующий вид:

(2.25.)

(2.26.)

(2.27.)

Все последующие определители также должны быть больше нуля. Последний (n -ый) определитель будет включать в себя всю матрицу коэффициентов (2.24.), но обычно его выражают через предпоследний определитель Гурвица (D_n-1):

(2.28.)

Правильность такого выражения следует из того, что в последнем столбце определителя Δ_n стоят нули, за исключением a₀.

При условии, что все определители Гурвица больше нуля, можно определить границы устойчивости системы. Этого можно достигнуть, приравняв к нулю последний определитель (D_n = 0), а согласно формуле (2.28.) для этого имеется два варианта решения:

1. a₀ = 0 – граница устойчивости первого типа (нулевой корень)

2. D_n-1 = 0 – колебательная граница устойчивости

Недостатками критерия Гурвица являются:

Сложность вычислений для уравнений высоких порядков

Невозможность определения в неустойчивой системе недостатков, для приведения ее к устойчивой с помощью необходимых изменений.

Пример определения устойчивости САУ по Гурвицу

Имеем характеристическое уравнение системы третьего порядка:

(2.29.)

Составляем матрицу коэффициентов характеристического уравнения:

(2.30.)

Если коэффициент a₀ положителен, то устойчивость системы, описанной имеющимся характеристическим уравнением, будет вытекать из положительности D₁ и D₂ _,т.е.:

D₁ = а₂> 0 и (2.31.)

отсюда D₂= a₁a₂ − a₀a₃> 0, а значит для устойчивой системы, кроме положительности коэффициентов уравнения, должно выполняться условие a ₁ a ₂ > a ₀ a _3.

Пример определения диапазона значений передаточного коэффициента управляющего устройства для устойчивой системы

Система автоматического управления представлена структурной схемой, приведенной на рисунке 63:

Рис.63. Структурная схема САУ

Требуется определить диапазон значений передаточного коэффициента k _p управляющего устройства, при котором система будет устойчивой, при следующих параметрах:

Решение:

Определим передаточную функцию всей системы:

Заменим

(2.34.)

и получим характеристическое уравнение системы следующего вида:

(2.35.)

В соответствии с критерием Гурвица и рассмотренным Примером 1, для устойчивой системы, описываемой характеристическим уравнением третьего порядка справедливо неравенство:

a₁a₂ > a₀a₃ (2.36.)

поэтому подставив имеющиеся данные, получим:

a₁a₂ = 0,09 х 1 > 0,01 х 0,26k_р = a₀a₃, где 0 < k_р < 34,62 (2.37.)

Диапазон значений передаточного коэффициента управляющего устройства, при котором система будет устойчивой, найден.

Критерий Рауса

Практически одновременно с Гурвицем английский математик Э. Раус предложил свой алгебраический критерий устойчивости САУ, описываемых дифференциальными уравнениями n – ного порядка. Критерий Рауса сформулирован таким образом – система устойчива, если все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительные. Если не все коэффициенты первого столбца положительные, то система неустойчива, а количество положительных корней характеристического уравнения равно числу перемен знака в первом столбце таблицы.

При составлении таблицы Рауса применяются следующие правила:

В первой строке таблицы необходимо записать коэффициенты характеристического уравнения с четными индексами в порядке их возрастания.

Во второй строке таблицы необходимо записать коэффициенты характеристического уравнения с нечетными индексами в порядке их возрастания

Следующие строки таблицы заполняются по формуле:

c_k,i = c_{k+ 1,i - 2} - r_i c_{k + 1,i – 1}, где r_i = c_{1,i – 2}/ c_{1,i – 1}, i 3 - номер строки,

k - номер столбца.

Строк в таблице на одну больше, чем порядок характеристического уравнения.

Ri	i\k
-	1	c₁₁ = a₀	c₂₁ = a₂	c₃₁ = a₄	...
-	2	c₁₂ = a₁	c₂₂ = a₃	c₃₂ = a₅	...
r₃ = c₁₁/cc₁₂	3	c₁₃ = c₂₁-r₃c₂₂	c₂₃ = c₃₁-r₃c₃₂	c₃₃ = c₄₁-r₃c₄₂	...
r₃ = c₁₁/c₁₂	4	c₁₄ = c₂₂-r₃c₂₃	c₂₄ = c₃₂-r₄c₃₃	c₃₄ = c₄₂-r₄c₄₃	...
...	...	...	...	...	...

Рис.64. Образец заполнения таблицы Рауса

Достоинство критерия Рауса в простоте его использования независимо от порядка характеристического уравнения.

Недостаток критерия Рауса в его малой наглядности, трудности определения степени устойчивости системы, как далеко она находится от границы устойчивости.

Примеропределения устойчивости САУ по критерию Рауса

Необходимо определить устойчивость САУ, ее структурная схема на рисунке 65.

Рис.65. Структурная схема САУ

Обозначения в структурной схеме:

К_изм - передаточный коэффициент измерительного устройства; К_фчв, Т_ф – передаточный коэффициент и постоянная времени фазочувствительного выпрямителя; К_у - коэффициент усиления электронного усилителя; К_эму Т_э - коэффициент передачи и постоянная времени электромашинного усилителя; К_д, Т_д - коэффициент передачи и постоянная времени электрического двигателя; К_ред - коэффициент передачи редуктора.