 |
Частотные критерии устойчивости
|
|
|
|
По виду частотных характеристик САУ можно судить об устойчивости систем, поэтому существуют частотные критерии устойчивости систем, которые позволяют осуществлять исследование устойчивости систем во взаимосвязи с графическим представлением их характеристик.
Частотные критерии имеют довольно простую интерпретацию, поэтому с их помощью удобно исследовать устойчивость систем, описываемых характеристическими уравнениями высокого порядка.
Рассмотрим основные критерии.
Критерий Михайлова
В 1938 году русский ученый А.В.Михайлов сформулировал критерий устойчивости САУ, основанный на анализе годографа Михайлова и принципе аргумента, которым обусловлено, что сумма аргументов всех сомножителей комплексного числа равна аргументу произведения комплексных чисел.
Возьмем характеристическое уравнение системы следующего вида:
(2.43.)
Подставим в уравнение мнимое значение р = jw и получим:
(2.44.)
Полученное выражение представляет собой математическое описание вектора Михайлова, конец которого при изменении частоты w от 0 до ¥, будет описывать на комплексной плоскости кривую, называемую годографом Михайлова, графическое представление которого изображено на рисунке 68.
Критерий Михайлова сформулирован следующим образом: САУ является устойчивой, если годограф Михайлова при изменении частоты от0 до ¥ начинается приw = 0на положительной вещественной полуоси, и с увеличением частоты проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно, нигде не обращаясь в нуль,nквадрантов координатной плоскости, гдеnявляется порядком характеристического уравнения системы.
Система является неустойчивой при любом отклонении от критерия Михайлова. На рисунке 68 годограф 1 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 3-го порядка, годограф 2 соответствует устойчивой системе, описываемой уравнением 4-го порядка, годограф 3 соответствует неустойчивой системе, годограф 4 соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, при этом годограф Михайлова проходит через 0.
|
|
|
Рис.68. Графическое представление годографа Михайлова
1 и 2 – устойчивая система, 3 – неустойчивая система,
4 – система находится на границе устойчивости
На рисунке 69 изображены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых систем, где n - порядок дифференциального уравнения:
Рис.69. Годографы Михайлова:
а) устойчивых систем, б) неустойчивых систем
Пример определения устойчивости САУ с помощью критерия Михайлова
Необходимо определить устойчивость САУ, структурная схема которой представлена на рисунке 65, числовые значения данных представлены в таблице на рисунке 66.
Решение:
Характеристическое уравнение данной системы имеет вид:
D(s) = 
(2.42.)
Подставив в уравнение 
, получим:
(2.45.)
Преобразуем уравнение в следующий вид:
(2.46.)
Выделим действительную и мнимую части:
; 
(2.47.)
Для построения годографа Михайлова составим таблицу значений (рисунок 70):
| 7.817 | 13.176 | 132.9 | 
| |
| 19.35 | −35.49 |
| ||
| 5.0654 | −13386.75 | 
|
Рис.70. Таблица значений
С помощью таблицы значений построим на комплексной плоскости годограф Михайлова и представим его на рисунке 71.
Рис.71. Годограф Михайлова
Анализируя годограф на рисунке 71 в соответствии с критерием Михайлова можно сделать вывод, что САУ устойчива, т.к. годограф начинается на действительной оси и с ростом ω от 0 до 
обходит последовательно в положительном направлении 4 квадранта комплексной плоскости.
|
|
|
Критерий Найквиста
В 1932 г. американский физик Найквист сформулировал критерий устойчивости САУ, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ ее разомкнутого контура. Критерий Найквиста сформулирован следующим образом – если САУ устойчива в разомкнутом состоянии, то необходимым и достаточным условием ее устойчивости в замкнутом состоянии будет условие, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до + ¥ не охватывала на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0).
Из определения разомкнутой системы вытекает, что входная величина системы является входной величиной первого звена прямой цепи, а выходной величиной разомкнутой системы является выходная величина последнего звена цепи обратной связи. Для замкнутой системы передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:
(2.48.)
Заменив в формуле передаточной функции разомкнутой системы (2.48.)
р = jw, получим АФЧХ разомкнутой системы n - ного порядка:
(2.49.)
Указанную АФЧХ разомкнутой системы построим на комплексной плоскости при увеличении частоты от 0 до + ¥, что показано на рисунке 72.
Рис.72. Критерий устойчивости Найквиста:
1 – АФЧХ устойчивой системы, 2 – АФЧХ системы на границе
устойчивости, 3 – АФЧХ неустойчивой системы
В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы пройдет через точку с координатами
(-1; j0), как видно из рисунка 72 (график 2), система будет находиться на колебательной границе устойчивости. В случае, когда АФЧХ разомкнутой системы будет охватывать точку с координатами (-1; j0), замкнутая система будет являться неустойчивой (рисунок 72, график 3).
|
|
|
