Интегральная функция распределения.
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Теория вероятностей. Лекция №1. Понятие вероятности. Элементы комбинаторики. Предмет теории вероятностей. Понятие события. Несовместные, достоверные, невозможные, противоположные события. Полная группа событий. Относительная частота и вероятность события. Элементы комбинаторики.
Предмет теории вероятностей. Понятие события. События, которые происходят в окружающем нас мире можно разделить на две группы:
Оп. Испытание – создание совокупности начальных условий, при которых может произойти (или не произойти) интересующее нас событие.
Оп. Достоверным (невозможным) называется событие, которое обязательно произойдет (не произойдет) в результате испытания. Случайное событие ( СС ) – это событие, которое может произойти или не произойти в результате испытания. СС будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита
Оп. Теория вероятностей (ТВ) – раздел высшей математики, в котором изучаются закономерности проявления СС массового характера.
Действия над событиями. Виды событий. Оп. Суммой СС Пример. Выпадение четного числа очков на грани игрального кубика при однократном подбрасывании Выпадение на двух игральных кубиках суммы очков равной двум – СС
Оп. СС называют несовместимыми, если они не могут произойти в одном испытании. Произведение несовместимых СС Пример. Несовместимы при однократном подбрасывании кубика события
Оп. СС образуют полную группу, если в результате испытания произойдет хотя бы одно из событий этой группы и никакое другое. Пример. Полная группа для кубика
Оп. Два несовместимых события Пример. Выпадение и не выпадение шестерки при подбрасывании игрального кубика.
Оп. СС будем называть элементарными, если они не могут быть представлены в виде суммы других событий, которые могут произойти в данном испытании. Пример. При подбрасывании игрального кубика элементарные события:
Оп. Пространство элементарных событий
Пример. Бросается одна монета, она может упасть гербом Пример. Бросаются две монеты: Пример. Капля дождя падает на прямоугольную площадку:
Замечание. В рамках приведенных выше определений достоверное событиепроисходит при проявлении любого элементарного события, то есть содержит их все и обозначается W. Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате данного опыта, оно не содержит элементарных событий и обозначается Æ. Пример. Для игрального кубика достоверное событие состоит в выпадении числа очков не выше шести при однократном подбрасывании. Невозможное – в выпадении «11» очков при однократном подбрасывании.
События и действия над ними можно наглядно иллюстрировать с помощью диаграмм Венна. Пространство
Первая диаграмма показывает, что сумму двух любых событий можно представить как сумму двух несовместимых событий. Операции над событиями обладают следующими свойствами: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Относительная частота и вероятность события. Оп. Если в серии из Свойства относительной частоты. 1. 2. 3. Если На начальном этапе развития ТВ проводились эксперименты по непосредственному определению относительной частоты для различных СС. Было установлено, что относительная частота обладает свойством статистической устойчивости: с увеличением числа испытаний она принимает значения, близкие к некоторому постоянному числу.
Оп. (статистическое определение понятия вероятности). Вероятностью проявления СС Замечание 1. Стремление относительной частоты к вероятности нельзя свести к обычному предельному переходу, который рассматривался в математическом анализе. Замечание 2. Основным недостатком статистического определения понятия вероятности – необходимость проведения достаточно большой серии испытаний СС. В теории вероятностей широко используется другое, эквивалентное предыдущему, определение понятия вероятности – классическое определение. Взаимосвязь между статистическим и классическим определением понятия вероятности можно продемонстрировать не примере решения следующей задачи. Пример. В корзине из Проведем серию достаточно большого количества испытаний, состоящих в извлечении из корзины наугад шара (число испытаний
Оп. (классическое определение понятия вероятности). Вероятность наступления СС Свойства вероятности. 1. 2. 3. Если СС
Пример. Однократно подбрасывают два игральных кубика. Какова вероятность, что сумма выпавших очков равна трем? Рассмотрим решение задачи при помощи составления “ дерева вероятностей ”. Этот способ является наглядным методом перебора всевозможных исходов испытания с целью определения числа всевозможных и благоприятствующих исходов. На рисунке белыми кружочками выделены всевозможные исходы подбрасывания первого кубика
Замечание. Классическое определение понятия вероятности неприменимо, если число всевозможных исходов испытания бесконечно; когда нет возможности представить результат испытания в виде совокупности элементарных исходов или нельзя считать эти исходы равновозможными. Оп. (геометрическое определение понятия вероятности). Пусть задана область Замечание 1. Выражение “брошено наугад” означает, что вероятность попадания точки в любую подобласть Замечание 2. Можно показать, что все три определения понятия вероятности эквивалентны и приводят к одним и тем же значениям вероятности. Какое из определений использовать при решении конкретной задачи решается из соображений удобства. Классическое определение чаще используется в теории вероятностей, статистическое – в математической статистике. При наличии бесконечного количества исходов используют геометрическое определение. Элементы комбинаторики. Подсчет числа всевозможных и благоприятствующих исходов данного испытания простым перебором различных исходов испытания, при большом их количестве, становится непродуктивным. Для нахождения Оп. Комбинаторика – раздел высшей математики, в котором решаются задачи выбора элементов, обладающих заданными свойствами, из некоторого множества и расположения их в определенном порядке. Оп. Кортежем длины Замечание. Кортежи, отличающиеся порядком следования элементов – различны. Координаты кортежа Пример. Из множеств
Оп. Декартовым произведением множеств
Пример. Декартово произведение множеств Замечание. Если хотя бы одно из множеств
Правила комбинаторики. Т. (правило суммы). Если конечные множества В качестве примера использования правила суммы см. третье свойство относительной частоты и вероятности. Т. (правило произведения). Если множества
Пример. В задаче на построение “дерева вероятностей” число
Пример. Сколько номеров, состоящих из двух букв и идущих за ними трех цифр можно составить, используя 32 букв русского алфавита и 10 цифр? Множество букв обозначим через
Формулы комбинаторики. Размещения. Оп. Упорядоченным называют подмножество в котором важен порядок следования элементов. В противном случае подмножество называют неупорядоченным. Пусть задано множество Оп. Упорядоченные подмножества, по
Если повторение элементов исключено, то каждый элемент из множества Пример. В ящике пять жетонов с буквами
Формула отображения множеств. Оп. Соответствие, сопоставляющее каждому элементу Найдем число отображений множества Пример. Шесть различных конфет между тремя детьми можно разделить Перестановки без повторения элементов. Оп. Определенный порядок следования элементов (упорядочивание), заданный на множестве Если из множества Оп. Перестановкой без повторения из Пример. Шесть человек могут сесть на шесть стульев Пример. В корзине 5 одинаковых, занумерованных шаров. По одному, наугад извлекают все шары. Какова вероятность, что их номера появятся в возрастающем порядке. Исходом испытания по извлечению шаров является перестановка множества из пяти элементов без повторений. Число таких перестановок -
Сочетания без повторений элементов. Оп. Неупорядоченные подмножества, по Из множества
Пример. В студенческой группе двадцать человек – шесть юношей и четырнадцать девушек. На некоторое мероприятие случайным образом выбирают группу из пяти человек. Какова вероятность, что в группе будут трое юношей и две девушки? При испытании осуществляется выбор подмножества, содержащего пять элементов из основного множества, содержащего двадцать элементов. В данном случае не важно, каким по счету был выбран данный человек – важно, что он попал в группу. Следовательно, подмножества неупорядоченные. Общее число таких подмножеств равно
Пример. В партии из
Перестановки с повторениями элементов. Оп. Пусть имеется набор элементов Если бы все элементы набора были бы различны, то Наличие
Пример. Переставляя буквы в слове «математика» можно получить Пример. Сколькими способами можно разложить двадцать восемь различных предметов по четырем различным ящикам так, чтобы в каждом ящике было по семь предметов. Числовую ось между числами один и двадцать восемь разделим на четыре равных отрезка – «ящика» Если ящики одинаковы, то полученный результат уменьшается в число раз, равное числу перестановок ящиков - Сочетания с повторением элементов. Оп. Пусть имеются элементы
Пример. Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеются четыре сорта пирожных? Из основного множества, содержащего сколь угодно много элементов четырех различных видов, собирают различные подмножества по семь элементов в каждом с возможностью присутствия одинаковых пирожных. Число различных подмножеств такого вида дает выражение Лекция №2. Алгебра событий. Алгебра событий. Теорема сложения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Рассмотренное ранее третье свойство вероятности называется простой теоремой сложения и справедливо для несовместимых СС. Если СС Т. (расширенная теорема сложения). Вероятность проявления, хотя одного из двух СС равна сумме их вероятностей без вероятности их совмещения.
На этой диаграмме можно выделить три непересекающиеся области -
Замечание. Доказанная теорема сводит нахождение вероятности суммы СС к определению вероятности их произведения.
Следствие 1. Вероятность суммы
Следствие 2. Для противоположных событий Зачастую, для нахождения вероятности
Оп. Число, выражающее вероятность СС
Т. (расширенная теорема умножения). Вероятность одновременного наступления двух СС
По классическому определению вероятности получим:
Следствие. Вероятность одновременного наступления Например, для случая совмещения 3-х с.с.: Оп. CC Замечание 1. Последне
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|