Выражение магнитного потока и энергии магнятного поля через вектор-потенциал

Вычисление магнитного потока значительно упрощается, если использоваться для этой цели вектор потенциалом. Действительно, преобразовав по теореме Стокса в выражении магнитного потока интеграл от гоt А по поверхности в циркуляцию вектора А по контуру, ограничивающему эту поверхность, получаем:

,

или

Здесь напрашивается сопоставлёние (чисто формальное) с законом полного тока. Линии вектора A охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора H в однородной, среде охватывают ток.

Из этого следует, для определения магнитного потока, пронизывающего некоторую площадь S, необходимо определить циркуляцию вектор потенциала по замкнутому контуру, на который опирается поверхность S.

Ещё одним достоинством вектор потенциала являётся то, что через него легче всего вычисляются полная и взаимная энергии магнитного поля цепей тока, а также, собственная L и взаимная индуктивности М. В литературе [ ] показано, что энергия магнитного поля может быть определена путём вычисления интеграла по объёму проводов катушек, т.е. там, где плотности тока не равны нулю:

.

Таким образом, расчёт магнитного поля в электрических машинах можно в итоге свести к решению дифференциальных уравнений Лапласа или Пуассона с целью определения распределения векторного потенциала. В современных условиях имеется возможность решать такие задачи с помощью ЭВМ, что излагается в последующих разделах данного пособия

Магнитный момент и индукция магнитного поля.

Особенность магнитного поля заключается в том, что оно неоднозначно, в том смысле, что в природе не существует магнитных зарядов, как это имеет место у электрического поля. Процессы взаимодействия тел и токов в магнитном поле обусловлены существованием магнитных диполей, которые могут быть представлены в виде магнитной стрелки, например, компаса, или в виде магнитного контура - замкнутого проводника, по которому циркулирует ток. Можно принять, что магнитный диполь и магнитный контур адекватны. В простейшем случае магнитный контур можно представить в виде плоского прямоугольника или кольца (рис 1.1). Взаимодействие магнитного поля и магнитного контура является одной из основных и характерных проявлений магнитного поля и, как будет показано далее, имеет прямое отношение к магнитным материалам.

{bmc Dipol.bmp}

Если рассматривать плоский контур малых размеров, то его ориентацию в пространстве можно характеризовать нормалью n к его плоскости и направлением, выбранным по правилу правого винта (рис 1.1). В магнитном поле контур ориентируется так, что вектор нормали располагается вдоль направления магнитного поля. Это указывает на то, что, на контур действует механические силы, создающие вращающий момент - М. Величина этого момента зависит от величины тока и ориентации контура в магнитном поле. Если нормаль диполя n совпадает с направлением магнитного поля, то момент М =0. В то же время максимальное значение момента М_max имеет место при условии, что направление нормали и направление магнитного поля перпендикулярны. Величина момента М_max не зависит от формы контура, но пропорциональна силе тока I и площади контура S. Тогда “поведение” контура с током в магнитном поле можно характеризовать во-первых значением М_max, а во вторых произведением

P =IЧS

Эта величина называется магнитным моментом контура.

Контуры тока, обладающие различным магнитным моментом P испытывают со стороны магнитного поля различные механические моменты М. Однако отношение М_max/ P одно и тоже при условии что рассматривается одна и та же точка поля. Размещая контур с током в различных точках неоднородного магнитного поля можно убедиться, что отношение М_max/ P различается. Поэтому такое соотношение характеризует силовое действие магнитного поля на контур с током. Размерность этого отношения

,

где F - размерность механической силы (Н), I -размерность тока (А), L - размерность длины (м). В обобщённом виде эта соотношение именуется - “ Тесла” (Тл), а физическая величина, пропорциональная этому отношению называется индукцией магнитного поля - В. Магнитная индукция векторная величина, которая характеризует направление и интенсивность магнитного поля только в одной точке. В целом действие магнитного поля на вещество можно охарактеризовать магнитным потоком - Ф. Так, если вектор В всюду нормален к поверхности S и имеет постоянное значение во всех её точках, равное В, то магнитный поток равен просто

Ф=ВS.

Размерность магнитного потока:

- где U – размерность электрического потенциала (В); Q – размерность электрического заряда (К); T -размерность времени (с.).