 |
Случайные величины. Законы распределения случайных величин
|
|
|
|
Понятие случайной величины
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены.
Обозначим: X, Y, Z – случайные величины, 
, 
, 
– возможные значения случайных величин.
Дискретной (прерывной) называют случайную величину, которая принимает отдельные возможные значения с определенными вероятностями.
Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины, независимо от величины промежутка, бесконечно.
Для задания дискретной случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения, нужно указать еще и их вероятность.
Законы распределения дискретной случайной величины
Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. Закон распределения можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически (в виде многоугольника распределения).
Табличное задание закона распределения:
– возможные значения случайной величины;
– вероятности появления случайной величины.
| x | x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | … | xn |
| p | p 1 | p 2 | p 3 | p 4 | … | pn |
Аналитическое задание закона распределения:
а) Биномиальное распределение, определяемое законом Бернулли
 .
| (14) |
где k = 0, 1, 2, …, n – количество возможных появлений событий; q = 1-p – вероятность не появления событий.
Формула Пуассона
Если число испытаний n достаточно велико, а вероятность p достаточна мала, причем их произведение а = np не мало и не велико (p <0,1, npq <10), то вероятность Pn (m) можно приближенно найти по формуле Пуассона:
|
|
|
 .
| (15) |
б) Распределение Пуассона, определяемое асимптотической формулой Пуассона:
 ,
| (16) |
где 
– интенсивность потока событий, которая характеризует математическое ожидание или среднее значение случайной величины распределенной по данному закону; e =2,7.
в) Локальная формула Муавра-Лапласа
Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (n >100, npq >9), то вероятность Pn (m) можно приближенно найти по формуле Муавра-Лапласа
 ,
| (17) |
где 
, 
– функция Гаусса.
г) Интегральная формула Лапласа
В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что число успехов m будет заключено между m 1 и m 2 можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:
 ,
| (18) |
где 
, 
, 
– функция Лапласа.
Значения данных функций есть в приложениях учебников по теории вероятности.
Графическое задание закона распределения представлено на рис. 1.
Рис. 1
Способ описания распределения случайной величины в виде таблицы, в виде формулы или графически применим только для дискретных случайных величин.
Разбор типовых задач
Задача 1
Вероятность рождения бычка при отеле коровы равна 0,5. Найти вероятность того, что от пяти коров будет: а) ровно три бычка; б) не менее трех бычков; в) не более одного бычка.
Решение.
Воспользуемся формулой Бернулли. Если производится п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события А постоянна и равна р, а вероятность противоположного события 
равна q=1- р, то вероятность Рn(m) того, что при этом событие А наступит ровно m раз, вычисляется но формуле:
,
где n!= 1·2·3 ... n, причем 0!=1.
а) По условию задачи p =0,5, тогда q =0,5. В данном случае n= 5 ,m= 3. Подставляя эти данные в формулу Бернулли, получим
.
б) Искомое событие А состоит в том, что от пяти коров будет или три, или четыре, или пять бычков. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий
|
|
|
.
Вероятность Р 5(3) уже найдена в пункте 1. Вероятности Р 5(4) и Р 5(5) определяются по формуле Бернулли:
,
.
Искомая вероятность
Р(А)≈ 0,3125+0,1563+0,0313=0,5001.
в) Искомое событие А состоит в том, что от пяти коров будут или один бычок, или ни одного. На основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий
Р(А) = Р5 (0)+ Р5 (1).
Вероятности Р5 (0) и Р5 (1) определяются по формуле Бернулли:
,
.
Следовательно,
Р(А)≈0,0313+0,1563 = 0,1876.
Ответ: а) 0,3125; б) 0,5001; в) 0,1876.
Задача 2
В совхозе имеется 150 свиноматок. Вероятность получения от любой из них не менее десяти поросят за одну лактацию равна 0,6. Найти вероятность того, что за одну лактацию из указанных 150 свиноматок не менее десяти поросят даст каждая из 102 свиноматок.
Решение.
При большом числе испытаний формула Бернулли приводит к громоздким вычислениям. В таких случаях применяют приближенную формулу, которая выражает локальную теорему Лапласа.
Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний постоянна и равна р (р≠0, р≠1), а число п достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле
,
где , 
.
Имеются готовые таблицы значений функции φ(х) (см. табл. 1 приложения). Для значений х > 5 считают φ(х)≈0. Если х <0, то φ(- х) = φ(х), так как эта функция четная.
По условию задачи n =150; m =102; р =0,6; q =0,4. По приведенной выше формуле вычислим значение х, определяемое данными задачи:
.
По таблице значений функции φ(х) находим φ(2)=0,0540. Тогда искомая вероятность приближенно равна
Ответ: 0,009.
Задача 3
Птицеферма отправила на базу 10000 яиц. Вероятность того, что каждое яйцо повредится в пути, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базе в отправленной партии яиц окажется три поврежденных яйца.
Решение.
По условию задачи n =10000; m =3; р =0,0002. Здесь п – велико, р – мало. В таких случаях применяют асимптотическую формулу Пуассона.
Если вероятность наступления события А в каждом из п независимых испытаний мала, а число испытаний п достаточно велико, то вероятность того, что событие А наступит ровно m раз, вычисляется приближенно по формуле
|
|
|
,
где λ= пр, e =2,7.
Применяют эту формулу в тех случаях, когда λ = пр ≤ 10 При этом, чем больше число п и меньше число р, тем точнее результат по формуле Пуассона. В нашем случае λ = пр= 10000 · 0,0002=2. Тогда
.
Ответ: 0,18.
Задача 4
Средняя плотность болезнетворных микробов в одном кубическом метре воздуха равна 100. Берут на пробу 2 дм3 воздуха. Найти вероятность того, что в пробе будет обнаружен хотя бы один микроб.
Решение.
Пусть случайная величина Х - число болезнетворных микробов, находящихся в 2 дм3 воздуха. Применим гипотезу о пуассоновском распределении числа микробов, которые могут быть обнаружены в этом объеме. Математическое ожидание Х равно 
. Вероятность того, что в данном объеме будет обнаружен хотя бы один микроб, равна
.
Ответ:0,181.
|
|
|
