Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Выбор необходимых параметров rc -цепочки, согласно критериям технического задания

При анализе формул (1) и (2) можно заметить, что сопротивление резистора r и ёмкость конденсатора С входят в формулы АЧХ и ФЧХ только в виде произведения τ=r∙C. Это произведение является постоянной времени для rc-цепочки. Известно, что приемлемая точность дифференцирования обеспечивается в том случае, когда постоянная времени цепи хотя бы на два порядка меньше наименьшего интервала времени, в пределах которого функция u₁(t) изменяется с наибольшей скоростью. В данном случае достаточно, чтобы τ была в сто раз меньше половины периода высшей(второй) гармоники полезного сигнала, т.е. τ = r∙C = . Период высшей гармоники полезного сигнала определяется, как . Тогда

τ = r∙C = ≈ 22,4∙ (с).

Выберем ёмкость С = 1мкФ, тогда сопротивление r = 22,4 (Ом).

С учётом выбранных r и С окончательно получаем τ = (с). Для этой постоянной времени построим амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики.

По формуле (1): .

По формуле (2): .

ФЧХ rc-цепочки с выбранными параметрами r и c ФЧХ идеального дифференцирующего устройств

Входной сигнал имеет вид:

Найдем значения АЧХ и ФЧХ для частот сигнала:

=700 рад/с

=1400 рад/с

=200000 рад/с

Выходной сигнал:

Общая формула для вычисления:

Выходной сигнал без помехи:

Выходной сигнал с помехой:

Рис.8 – Выходной сигнал

Выхондой сигнал без помехи найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах сигнала. Формула для нахождения каждой из составляющих выходного сигнала: u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin⁡(ωt+ψ_1+α(ω))

Выходной сигнал, полученный путем умножения дифференцированого входного сигнала без помехи на коэффициент m(коэффициент подбирается визуально, так чтобы графики выходных сигналов совпадали) m=0,0000224

u_2 (t)=0,0000224∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400) а

Рис.9 - Выходной сигнал с помехой

Выходной сигнал с помехой найденный с помощью АЧХ и ФЧХ rc-цепочки на полезных частотах и на частоте помехи сигнала u_2 (t)=U_1m∙K(ω)∙sin⁡(ωt+ψ_1+α(ω))

u_2 (t)=0,0000224∙(1,6∙cos(700∙x)∙700+cos(1400∙x)∙1400) Вывод: rc-цепочка не способна обеспечить выходной сигнал с допустимо малым уровнем помехи, необходимо искать путь подавления помехи в сигнале. Так как, при отсутствии помехи, rc-цепочка может быть использована как идеальное дифференцирующее устройство.

Теперь проанализируем полученные результаты с точки зрения критериев технического задания, всего их 3(уровень полезного сигнала, точность дифференцирования, помехоучтойчивость rc-цепочки)

Начнем проверку с третьего критерия, так как он представляется(судя по графику) невыполняемым(рис 9).

Помехоучтойчивость rc -цепочки

Для количественного определения допустимого уровня помехи в составе выходного сигнала, вычислим отношение амплитуды помехи к амплитуде первой гармоники полезного сигнала для входного сигнала u₁(t):

Приблизительно таким же (или ещё меньше) должно быть отношение амплитуд помехи и первой гармоники полезного сигнала в выходном сигнале u₂(t), т.е. должно выполняться соотношение:

(3);

Вычислим отношение амплитуд помехи и первой гармоники полезного сигнала в выходном сигнале u₂(t):

В результате соотношение (3) не выполняется, т.е. уровень помехи в составе выходного сигнала значительно превышает допустимый

Следовательно если один из критериев не выполняется, то нет смысла проверять и другие два.

Анализируя результат, можно сделать вывод о том, что дифференцирующая rc-цепочка с постоянной времени τ = 22,4∙ (с) обеспечивает достаточный уровень полезного сигнала на выходе и приемлемую точность дифференцирования(рис13,14). Однако, уровень помехи в составе выходного сигнала такой цепочки недопустимо высок, что не позволяет использовать её в устройстве формирования управляющих сигналов.

Помеху можно было бы подавить на выходе с помощью частотного фильтра. Но в этом случае необходимо учесть влияние (вполне возможно, неблагоприятное) фильтра на качество дифференцирования полезного сигнала, так как АЧХ и ФЧХ совместно работающих дифференцирующего устройства и фильтра, скорее всего, окажутся существенно хуже АЧХ и ФЧХ отдельно рассчитанной r-с цепочки.

Гораздо более удачным был бы вариант электрической цепи, которая обладала бы дифференцирующими свойствами в области частот полезных составляющих входного сигнала и одновременно свойством подавления высокочастотной помехи. Таким дополнительным свойством обладала бы цепь, в которую включена катушка индуктивности, т.е. выполненная по схеме (рис. 15):

Рис. 15 Простейшая дифференцирующая r-L-c цепочка

Здесь L - индуктивность катушки, r_k - ее активное сопротивление, r и c - активное сопротивление и емкость, величины которых могут остаться такими же, как и в r-с цепочке, рассмотренной ранее. Индуктивное сопротивление x_L = ωL особенно велико на частоте помехи и способно существенно ограничить составляющую тока этой частоты, а следовательно, и выходное напряжение сигнала помехи, что и является ожидаемым полезным эффектом. Однако наличие дополнительных параметров L, r_k изменяет вид АЧХ и ФЧХ и в области частот полезного сигнала, причем пока не ясно, в сторону их улучшения или ухудшения. Поэтому необходимо исследовать (аналитически, в общем виде) АЧХ и ФЧХ предложенной r-L-c цепи. Если имеется некоторый диапазон частот, в пределах которого АЧХ и ФЧХ одновременно отвечают условиям дифференцирования полезной составляющей входного сигнала, значит, дальнейшие операции имеют смысл. Если такого диапазона нет, цепь в принципе не обладает нужными свойствами.

1. Расчет в общем виде АЧХ и ФЧХ скорректированного дифференцирующего устройства (r - L - c цепи). Р асчет параметров r - L - c цепи согласно требованиям технического задания.

Составим уравнения Кирхгоффа для r-L-c-цепочки в комплексной форме (рис. 17):

Рис.17 К расчету дифференцирующей rc -цепочки комплексным методом

Комплексный коэффициент передачи напряжения может быть найден, как отношение комплексных амплитуд, либо как отношение действующих значений напряжений:

Отсюда, АЧХ:

(4)

ФЧХ:

(5)

В общем виде, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики дифференцирующей r-L-c-цепочки могут быть представлены в виде графиков (рис.18 и рис. 19):


Рис. 18 Общий вид АЧХ дифференцирующей r-L-c-цепочки, ω₀ – резонансная частота	Рис. 19 Общий вид ФЧХ дифференцирующей r-L-c-цепочки, ω₀ – резонансная частота

Известно, что r-L-с цепочка является резонансной, с резонансной частотой ω₀, определяемой по формуле: .

Поэтому, необходимо выбрать значение резонансной частоты ω₀таким образом, чтобы обеспечить выполнение всех трёх критериев технического задания. Разумеется, значение резонансной частоты ω₀ не может находиться внутри или на границе диапазона частот составляющих полезного сигнала (хотя бы потому, что значение ФЧХ при ω = ω₀ равно нулю, а должно быть, в идеале, равным π/2). С другой стороны, резонансная частота не должна совпадать или быть близкой к частоте помехи (хотя бы потому, что условие ω = ω₀соответствует максимуму тока в цепи и, следовательно, максимуму напряжения на выходе, а задача состоит как раз в обратном - в необходимости максимально уменьшить это напряжение). Следовательно, положение резонансной частоты на оси частот определяется неравенством ω₂< ω₀< ω_п, где ω₂- частота высшей гармоники полезного входного сигнала, ω_п -частота помехи. Поскольку ω_п намного больше ω₂, диапазон возможного положения ω₀на оси частот достаточно широк, и это позволяет надеяться, что при каком-то значении индуктивности L цепь сможет соответствовать всем указанным выше критериям качества, хотя это и не гарантировано.

Теперь рассчитаем параметры r-L-c цепочки согласно требованиям технического задания. Как уже было отмечено ранее, параметры r и C можно оставить теми же, что были использованы при расчете rc-цепочки. Активное сопротивление катушки r_k зависит от числа её витков, которое в свою очередь определяет индуктивность катушки L. Сама же индуктивность может быть вычислена, если будет известна резонансная частота ω₀ r-L-c цепочки.

Проведём анализ формул для расчёта АЧХ и ФЧХ r-L-c цепочки с точки зрения критериев, описанных в техническом задании. Целью анализа будет установление интервала частот Δω, в котором может находиться резонансная частота ω₀, и при этом будут выполняться все три критерия качества. При анализе можно пренебречь активным сопротивлением катушки r_k, т.к. r_k<<r. Поэтому можно считать, что оно не оказывает существенного влияния на характер АЧХ и ФЧХ.

C учётом сказанного, перепишем формулы (4) и (5), подставив в них зависимости:

и (c).

Получим:

(6)

(7)

При расчете интервала частот Δω, можно принять следующие обозначения:

ω₀₁ - минимально-необходимое значение резонансной частоты ω₀, обеспечивающее соответствие первому критерию качества,

ω₀₂ - максимально возможное значение ω₀, обеспечивающее выполнение требований второго критерия;

ω₀₃ - максимально возможное значение ω₀, обеспечивающее выполнение требований третьего критерия.

1) Расчёт резонансной частоты ω₀с точки зрения критерия минимального уровня полезного сигнала на выходе.

Составим неравенство, исходя из условия, что минимально-необходимым можно принять сигнал u₂(t), у которого амплитуда первой гармоники не меньше 1мВ: (8).

Подставив выражение для K(ω) из формулы (6), составим и решим неравенство:

, где , .

Решая это неравенство относительно ω₀₁, получим:

ω₀₁– любое значение (9). Расчёт резонансной частоты ω₀с точки зрения критерия точности дифференцирования выходного сигнала.

В качестве опорных неравенств, воспользуемся неравенствами (10) и (11), которые приведены в техническом задании:

(10) и (11)

Подставим из выражения (6) в неравенство (10) значения K₍₁₎=K(ω₁) и K₍₂₎=K(ω₂), получим:

Здесь , , . Решая это неравенство относительно ω₀₂, получим:

ω₀₂– любое значение (12). Подставим из формулы (7) в неравенство (11) значение , получим:

Решая это неравенство относительно ω₀₂, получим: ω₀₂≥2797,5 рад/с (13)

2) Расчёт резонансной частоты ω₀с точки зрения критерия помехозащищённости r - L - c цепочки.

Для расчёта помехозащищённости, воспользуемся условием неравенства (6):

(3)

Здесь и . Подставим эти значения в неравенство (3), используя формулу (6). Получим:

;

Здесь , ω_п = 200000 рад/с.

Решая это неравенство относительно ω₀₃, получим:

ω₀₃≤ 16741,6 рад/с (14)

Итак, наложив ограничения на резонансную частоту ω₀ с точки зрения всех трёх критериев, можно составить систему из неравенств (9,12,13,14): . Отсюда, искомый интервал частот Δω = (2797,5 … ) (рад/с). Так как в техническом задании не оговорено никаких дополнительных требований к резонансной частоте, то можно выбрать любое значение ω₀ из интервала Δω. Выберем ω₀ = 10000 рад/с. С учетом выбранной резонансной частоты и ранее выбранной ёмкости С = 1мкФ, вычислим индуктивность катушки L:

(Гн).

Рассчитаем число витков катушки с сердечником в виде кольцевого магнитопровода, выполненного из феррита (рис. 5) с магнитной проницаемостью μ_r. Пренебрегаем всеми видами потерь. Напряженность поля на одинаковом расстоянии r от оси симметрии такого магнитопровода одинакова и равна

Здесь i – сила тока в катушке, W – число витков, B – магнитная индукция, μ₀ = 1,25663706*10^-6 Гн/м – магнитная постоянная. Магнитный поток в сердечнике равен:

;