Современный подход к силлогистике

Теория категорического силлогизма Аристотеля, как мы видели, рассматривает дедуктивные умозаключения из посылок, которые являются суждениями о принадлежности или непринадлежности свойства определенному классу предметов. Свойство же класса с современной точки зрения можно представить как функцию-высказывание с одной свободной переменной. Действительно, рассмотрим, например, функцию-высказывание Х > 0, т.е. множество всех положительных чисел. Как нетрудно понять, эта функция-высказывание выражает общее свойство всего класса положительных чисел. Аналогичным образом функция-высказывание "х обладает свойством проводить электричество" обозначает те и только те предметы, которым присуще указанное свойство. На основании этих примеров мы приходим к обобщению, что функцию-высказывание с одной свободной переменной можно заменить классом тех и только тех предметов, которые обладают некоторым общим свойством. Обратите внимание, что при этом переменная является единственной и свободной, т.е. не связанной с кванторами. Итак, всюду, где речь идет об общем свойстве предметов, его можно представить как функцию-высказывание или класс. Любой предмет, индивидуум или элемент класса, обладающий соответствующим свойством, будет принадлежать данному классу, что можно символически представить так:

x Î К,

где х – обозначает элемент;

К – класс таких элементов;

символ " Î "обозначает принадлежность элемента классу.

Эти соображения лежат в основе современного подхода к силлогистике, при котором рассуждения о свойствах заменяются рассуждениями о классах, а точнее, об объемах понятий классов.

Рассмотрим в этих целях основные отношения между классами, но предварительно введем некоторые новые понятия. Если каждый элемент класса К 1 есть одновременно элемент класса К 2, тогда класс К 1 есть подкласс класса К 2. Символически: К 1 Ì К 2 или К 2 É К 1. Говорят также, что класс К 1 входит или включается в класс К 2. Отношение включения обозначается символом "Ì".

Может случиться, что элементы одного класса будут элементами другого класса, а элементы последнего – элементами первого, т.е. если К 1 Ì К 2 и К 2 Ì К 1, тогда К 1 = К 2.

Очевидно, что каждый класс может рассматриваться как подкласс самого себя, но в таком случае он представляет мало интереса, и поэтому такой подкласс называют несобственным. В отличие от этого собственным подклассом (частью класса) называют множество элементов, которые одновременно принадлежат обоим классам, причем элементы подкласса составляют лишь часть элементов класса.

Отношения между классами характеризуются следующими основными законами:

1. Для всякого класса К К Ì К.

2. Если K1 Ì К 2, а К 2 Ì К 1, то К 1 = К 2.

3. Если К 1 Ì К 2, а К 2 Ì К 3, то К 1 Ì К з.

4. Если К – не пустой подкласс класса L, и если классы L и М раздельны, то классы А и М также раздельны.

Первый из законов называется законом рефлексивности отношения включения, второй – законом тождества, третий – законом транзитивности, четвертый – характеризует взаимоисключение или раздельность подклассов, что наглядно видно на рис. 12.

Перечисленные законы вместе с некоторыми другими положениями составляют группу законов категорического силлогизма.

Отсюда можно заключить, что силлогистика, а также традиционная логика, основывающаяся на ней, может быть сведена к теории отношений между классами. Легко убедиться, что два произвольных класса К 1 и К 2 могут находиться друг к другу в следующих отношениях:

1) классы могут быть тождественными, т.е. К 1 = К 2;

2) класс К1 может быть собственным подклассом К 2, т.е. К 1 Ì К 2;

3) классы К1 и К 2 частично совпадают или пересекаются;

4) классы К 1 и К 2 взаимно исключают друг друга или раздельны.

Такой переход от рассмотрения отношений между свойствами предметов к анализу отношений между классами предметов, обладающих этими свойствами, значительно облегчает исследование и, что особенно существенно, сводит традиционную силлогистику к теории отношений между классами. Отношения же между классами можно свести к исчислению одноместных предикатов. Для иллюстрации рассмотрим силлогизм модуса "Barbara", который в общем виде формулируется так: "Все М есть Р. Все S есть М. Поэтому все S есть Р", а символически записывается следующим образом:

(х) (М (х) → Р (х)), (х) (S (x) → М (х)) | = (х) (S (x) → Р (х)).

Предикаты, которые встречаются здесь, одноместные, выражающие отношение свойства к предмету. Современная же логика имеет дело с многоместными предикатами, характеризующими отношения между различными предметами. Отсюда становится ясным, что силлогистика составляет лишь небольшую часть логики предикатов. Поскольку, однако, силлогизмы формулируются на естественном языке, то они по-прежнему широко используются не только в повседневных, но и научных рассуждениях.