Алгеб. опер-ии. Осн понятия.Св-ва бин. опер-й. Нейтр. элементы.

Счет. и несчет. мн-ва.

def. Множества А и В называются изоморфными, если существует биективное отображение множества А на В. Обозначаются изоморфные множества: А @ В. Утверждение. Бинарное отношение «быть изоморфными» на совокупности множеств является отношением эквивалентности. Следствие. Относительно отношения «быть изоморфными» все множества объединяются в классы. Каждый класс состоит из изоморфных между собой множеств. dеf. То общее, чем обладают множества одного и того же класса (количество элементов) называются кардинальным числом (т.е. количественным) или мощностью множеств данного класса. Мощность множества А обозначается через | А |. По соглашению |Æ| = 0. Пример 1. |{a}|=1; |{a,b | a ¹ b}| = 2. def. Множества X и Y называются равномощными, если существует биективное отображение множества Х на множество У. Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества. Равномощные конечные множества называют равночисленными. Если X и Y равномощны, то пишут X @ Y.

Алгеб. опер-ии. Осн понятия.Св-ва бин. опер-й. Нейтр. элементы.

def. Бинарной алгебраической опе рацией на множестве А называется отображение множества А × А в А. + и - целых чисел являются примерами бинарных операций на множестве. Пусть Р (М) – множество всех подмножеств множества М. Пусть f – производная бинарная операция на множестве А. Если при отображении f, элемент а соответствует паре (а, b), то вместо записи f (a, b) = c пишут так же (a, b) с и элемент с называют композицией элементов a и b. def. Пусть Аⁿ есть n -ая степень непустого множества А, где n N. Отображение множества Аⁿ в А называется n-местной операцией на множестве А, а число n - рангом операции. Нульместной операцией на множестве А называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества А. Число 0 называется рангом нульместной операции. def. Отображение из множества Аⁿ в А называется частичной n-местной операцией на А, если область определения отображения не совпадает с Аⁿ. Операции ранга 0, 1, 2 называют нульарной (нульместной), унарной и бинарной соответственно. Унарную операцию называют так же оператором. Свойства бинарных операций и ◦ - произвольные бинарные операции на множестве А. def. Операция коммутативна, если для любых a, b из А выполняется равенство a b = b a. def. Операция ассоциативна, если для любых элементов a, b, c из А выполняется равенство a (b c) = (a b) c. def.О перация дистрибутивна относительно бинарной операции ,если для любых a, b, c из А выполняются равенства (a b) ◦ c = (a ◦ c) (b ◦ c) и c ◦ (a b) = (c ◦ a) (c ◦ b). Нейтральные элементы def. Элемент е из А называется левым нейтральным относительно операции , если для любого а из А выполняется равенство е а = а. def. Элемент е из А называется правым нейтральным относительно операции , если для любого а из А имеем а е = а. def. Элемент е из А называется нейтральным относительно операции , если для любого элемента а из А верны равенства e a = a = a e. Симметричные элементы def. Элемент v из А называется левым симметричным к элементу а А относительно операции , если v a = e. def. Элемент v из А называется правым симметричным к а относительно операции , есл а v = е. def. Элемент а’ А называется симметричным к элементу а А относительно операции , если а a' = е = a’ a. В этом случае элемент а называется симметризуемым, а элементы а и а’ – взаимно симметричными.

Аддитивная и мультипликативная форма записи При аддитивной форме записи бинарную операцию называют сложением и пишут а + b вместо a b, называя элемент a + b суммой a и b. Элемент, симметричный элементу а, обозначают (- а) и называют противоположным элементу а. Нейтральный элемент относительно сложения обозначают символом 0 и называют нулевым элементом относительно сложения. При аддитивной записи свойства ассоциативности и коммутативности записывается в виде a + (b + c) = (a + b) + c, a + b = b + a. При мультипликативной форме записи бинарную операцию называют умножением и пишут a b (вместо а b), называется элемент a b произведением а и b. Элемент, симметричный а, обозначают а^-1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через e и 1 и называют единичным элементом или единицей относительно умножения. При мультипликативной записи свойства ассоциативности и коммутативности записываются в виде a (b c)=(a b) c, a b = b a.

52.Алгебр структуры. def. Множество М вместе с набором операций , M, где n_i - рангом операции , называется алгебраической структурой, универсальной алгеброй или просто алгеброй.

Множество М называется основным (несущим) множеством или основой (носителем); упорядоченная последовательность рангов (n₁,…, n_m) называется типом; множество операций S называется сигнатурой.