Раздел III. Показательные уравнения, неравенства, иррациональные неравенства и их решение.

Оглавление

Оглавление. 1

Раздел I. Тригонометрические уравнения и их решение. 2

Раздел II. Логарифмические уравнения и. 11

Неравенства и их решение. 11

Раздел III. Показательные уравнения, неравенства, иррациональные неравенства и их решение. 30

Раздел IV. Задачи по геометрии и их решение. 41

Раздел V. Задачи для самостоятельного решения. 54

Ответы к задачам для самостоятельного решения. 55

Список литературы.. 57

 

 

 

Раздел I. Тригонометрические уравнения и их решение.

№1. Решите уравнение:

Решение:

;

1)

Пусть  

2)

 

Ответ:

№2 Решите уравнение: .

Решение:

1. ОДЗ:

2.

Для решения применяем формулу

Пусть тогда

a)

б)

y

x

0

/2

в)

3. С учетом ОДЗ имеем

Ответ:

 

№3 а) Решите уравнение: ;

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение:

, имеем:

,

б) 1)

при n =1,

при n =2,

2)

При n =2,

Ответ: а) б)

№4. Решите уравнение:

Решение:

Приведем  к общему знаменателю sinx:

1)

2)

Ответ:

№5. Решите уравнение:

Решение:

Используем формулу синуса разности двух углов

т.к.

Решаем методом введения вспомогательного угла:

              или            ,

Ответ:

 

№6. Решите уравнение:

Решение:

,

Используем формулу косинуса разности двух углов

т.к.

 

Решаем методом введения вспомогательного угла:

           или           

                         

                          

Можно и по-другому:

 

, или

 ,

 .

Ответ:

или

№7. Решите уравнение:

Решение:

 

Воспользуемся одной из формул разности одноименных функций и формулой синуса двойного угла.

 

 

 

 или                  2) ,

                                      

                                        

 

Решение 1 и 2 уравнений можно записать как

Решение исходного уравнения:

Ответ: .

№8. Решите уравнение:  

Решение:

,

 

 

 

 

 

Пусть , тогда

 

 

 

отсюда

,

 

 

Ответ:

№9. Решите уравнение:

Решение:

 

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

 

 

 

  Решение уравнения ,  – подмножество решений уравнения , поэтому решением заданного уравнения являются: .

Ответ: .

№10 а) Решите уравнение: ;

б) Запишите множество решений, принадлежащих отрезку .

Решение:

,

,

,

Введем замену: пусть , тогда

,

,

,

Возвращаемся к замене:

,

,

,

при n=1: ;

.

Ответ: а) ;       б) .

 

Раздел II. Логарифмические уравнения и неравенства и их решение.

 

№1. Решить неравенство: < .

В ответе указать множество решений, сумму целых значений из этого множества.

Решение:

<

1) ОДЗ:

Найдем решение системы при помощи числовой прямой

X

-1 - 2                         5

 

 

                  X

2) <

= = =1

Запишем уравнение в упрощенном виде:

< 1

<

 а)

б)

Объединяя найденные множества решений, учитывая ОДЗ, получаем решение неравенства

-1  -                         1       2                 5          8

Х

 

6+7=13- сумма целых решений

Ответ: ;

Сумма целых значений из множества решений 13.

 

№2. Решите уравнение.

2  - - =0.

 

Решение.                                                                                                         

2  - - =0

-4   -2       -1  2

а) ОДЗ:                                                x

                                                                   x (- -4) (-4;-2) (2; ).

б) 2  = 2

 =

xX

=

-4      -2       -1             2

           X=-4 X=-1

Нули подмодульных выражений                                                                                  

а)  нет решений

б) x=-2,5

в) нет решений

x=-2,5 – решение исходного уравнения

Ответ: -2,5.

№3. Решите уравнение 2  - - =0.

Решение

а) Найдем область допустимых значений x:

-3   -       -2 6

Покажем на числовой оси:                                                               x

 

                                                            x ;

б) 2  - - =0,

2  = 2 ,

 = ),

X -6= ,

X -6= ,

X -6= Данное уравнение равносильно системе:

                              

.    

Ответ: -2,5.

№4. Решите уравнение .

Решение:

1) Найдем область допустимых значений:

2) Решим, используя свойства логарифмов и формулу перехода к логарифму с другим основанием:

 = log_3x7 +

= log_3x7 +

= log_3x21

2x²-9=3x

2x²-3x-9=0

D=9+72=81

х₁=3 ОДЗ

х₂= -1,5- не удовлетворяет ОДЗ

Ответ: 3.

№5. При каких значениях х соответственные значения функций log ₂ x и g (x)= log ₂ (3- x) будут отличаться меньше, чем на 1?

Решение:

Используя определение и свойства логарифмов имеем систему неравенств

1)

-1 < log₂ < 1,

log₂ < log₂ < log₂2,

<  < 2,

   x (1;2)

2) C учетом ОДЗ получаем систему уравнений

1<x<2.

Ответ: (1;2).

 

 

№6. Решить уравнение .

Решение

Находим ОДЗ уравнения: х>0. Введем обозначение , тогда уравнение примет вид  или  (в силу свойства ). Рассмотрим три случая:

· t 3, тогда по определению абсолютной величины имеем   и  Подставляя в уравнение, получим t-1+2=t-3  1=-3, что невозможно. Следовательно, решений нет.

· 1 t<3, тогда  и , уравнение примет вид t-1+2=3-t  2t=2 t=1

· t<1  и 1-t+2=3-t , т.е. уравнение верно при всех t<1, откуда и имеем бесчисленно множество решений.

Объединив второй и третий случаи, получим ответ .

Ответ: .

№7. Решить уравнение .

Решение:

1)Найдем область допустимых значений х:

 

Сравним  и :

Следовательно, областью допустимых значений x является:

x (

2)выполним преобразование, используя свойства логарифмов

Ответ: 3.

№8. Решить уравнение .

Решение:

1)Найдем область допустимых значений

 Сравним  и

 = = ;

.

Ответ: 2.

 

№9. Решите уравнение .

Решение:

ОДЗ:       

Решаем уравнение, применяя свойства логарифмов.

12 -3= 0; = ;

Ответ: .

 

№10. Решите уравнение ).

Решение:

).

ОДЗ:  

x  (0;1)(1;  

Решаем уравнение, применяя свойства логарифмов.

 =4  + 2  

 = 2 + 1 - 2  ,

 = 3 - 2  равносильно системе

 

 ОДЗ,

Ответ:

 

№ 11 Решите уравнение

Решение:            x-5>0                                          x>5                       x>5

1) ОДЗ      >0            ⟹        x>-7          ⟹      x>-7 ⟹ x>5

                       lg -lg2 ≠0                   ≠ 2         x≠-3

2)lg8-lg(x-5)=lg -lg2

lg8+lg2=lg + lg(x-5)

lg(8·2)=lg( (x-5))

16= (x-5)

 

((x-5) =16

x>5

Можно методом подбора:

Пусть x=9, тогда

(9-5) =16 –верное 

Поэтому x=9.

Ответ 9.

 

№12. Решить уравнение log x + log 8 =3- log _.

Решение:

log x+ log 8 =3-log

ОДЗ:    x>0 ó x (0;1) (1; )

               x≠1

Применяя формулу log_ab=  рассмотрим:

1)log x+ = =2log x;

2)log 8= = = = ;

3)log = = =-2*1/2log x=-log x.

Решим уравнение

2log x+ =3+log x.

2 log x-log x+ =3

log x+ =3

log x+2=3log x

log x-3log x+2=0

Пусть log x=y, тогда

y -3y+2=0

Д=9-8=1

y = =2; y = =1, отсюда

log x=2    и  log x=1

x=4             x=2

Ответ: 2;4.

№ 13. Решите неравенство .

Решение:

Решим методом интервалов.

1) (x-2)*(x+2)=0

x=2 или x=-2 

2)  log (x -1)≠0

a) ОДЗ  x -1>0

(x-1)(x+1)>0

 

                                         

-1              1           

x

b) x -1≠1

x ≠2

x≠±

 

3)

- +    -                   -      +   -    -

                                                                              

-2 - -1      1          2

 

x

Ответ: x

 

№14. Решите неравенство   5 log ₈ (x ² -15 x +56)  6+ log ₈ ^.

Решение:

5log₈(x²-15x+56)  6+log₈

Разложим на множители квадратный трехчлен x²-15x+56:

X²-15X+56=0

D=(-15)²-4 56=225-224=1

X₁= ;

X₂=7;

X²-15X+56=(X-8)(X-7)

5log₈(x-8)(x-7)