Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Раздел IV. Задачи по геометрии и их решение.

Задача №1

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите расстояние от точки D до плоскости (CAD ₁).

Дано: Решение:

D₁

A₁

ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб

C₁

B₁

BC=1

Определить:

(D, (CAD₁))

(D; (CAD₁)) = DK (DK OD₁)

I способ. Работаем по формуле h= , т.к. OD₁D – прямоугольный

D₁D=1; OD = ; OD ₁= = из ODD₁ - прямоугольного

KD = , KD = = =

II способ. 1) ODD₁– прямоугольный

sin D₁OD = ; DD₁ = 1; OD= BD= ;

OD₁= = = =

sin D₁OD= 1: =

2) - прямоугольный

KD=OD sin KOD

KD= * = =

Ответ:

Задача №2

В единичном кубе ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ найдите расстояние между прямыми AD и CA ₁.

Дано: Решение:

ABCDA₁B₁C₁D₁- куб B₁ C₁

AB=1. A₁ D₁

Определить: (AD,CA₁) O

B h C

A D

1)AD и CA₁-скрещивающиеся прямые. За расстояние между скрещивающимися прямыми принимают расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельно первой. Но (A₁AC) не параллельна AD. В этом случае расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от точки одной прямой до другой, т.е. это длина перпендикуляра от точки одной прямой до другой. За данную точку удобно взять точку пересечения диагоналей плоскости A₁AC, т.е. точку О, О- точка пересечения всех диагоналей куба (проведем B₁D).

2) (AD; A₁C)= (O; AD)= OK, т.к. OK AD.

AOD- равнобедренный, OK-высота, медиана и биссектриса AOD.

OK= AO= , AC₁=A₁C=B₁D= , AO= ,

AK= ; OK= = = ;

₁C)= .

Ответ: .

Задача №3

В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁, стороны основания которой равны 2, а боковые ребра 3, найдите расстояние между прямыми AA ₁ и BC ₁.

Дано: Решение:

ABCA₁B₁C₁- правильная

треугольная призма А₁ С₁

AB=2, AA₁ =3; 3 В₁

Определить: (AA₁;BC₁)

А С

1)AA₁, BC₁- скрещивающиеся прямые. За расстояние между скрещивающимися прямыми принимают расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую, параллельно первой.

AA₁ || (B₁BC).

2) (AA₁; BC₁) = (AA₁; (BB₁C₁))=AK, где AK (BB₁C), т.к

а) B₁B (ABC)= BB AK;

б) AK BC.

3)AK= , где a=2, т.к. -правильный.

AK= , значит, (AA₁, BC₁)= .

Ответ: .

Задача №4

В правильной треугольной призме ABCA ₁ B ₁ C ₁, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АС₁ и плоскостью ВВ₁С₁.

В₁

А₁

Дано: Решение:

С₁

АВСА₁В₁С₁-правильная

треугольная призма

АА₁=1

АС=1

Определить cos (АС₁;(ВВ₁С₁))

1) Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость

АК ВС С₁К – проекции АС₁ на (ВСС₁) (АС₁; (ВСС₁)) = (АС₁; С₁К) = АС₁К.

2) Косинус угла АС1К можно найти по теореме косинусов:

АК²=АС₁²+С₁К²-2АС₁*С₁К cos AC₁K.

а) АК= из правильного АВС по формуле h=

б) АС1= из прямоугольного АСС₁;

в) С₁К= = из прямоугольного С₁СК.

=2+ -2 * cos AC₁K;

cos AC₁K= , значит, cos (АС₁;(ВВ₁С₁)))= .

Ответ:

Задача №5

Сторона основания правильной треугольной призмы АВСА₁В₁С₁ равна 2 , а диагональ боковой грани равна 13. Найдите угол между плоскостью С₁АВ и плоскостью основания призмы.

Дано: Решение:

АВСА₁В₁С₁ – правильная A₁ C₁

треугольная призма

АВ=2 B₁

ВС₁=13 A C

Определить: K 2

((С₁АВ);(АВС)). B

1) Угол между двумя плоскостями С₁АВ и АВС с их общей границей называют двугранным углом. С₁АВС – двугранный. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

((С₁АВ);(АВС))= С₁КС, т.к. СК АВ, СК – проекция С₁К, поэтому С₁К АВ.

2)Рассмотрим С₁КС – прямоугольный и найдем tg C₁KC = .

С₁С= = = =3 из прямоугольного ВС₁С.

КС= ; КС= = - из правильного АВС.

tg C₁KC = = = ;

С₁КС = 60^о ((С₁АВ); (АВС))=60^о

Ответ:60^о.

Задача №6

Диагонали трапеции СЕКМ (ЕК и СМ – основания) пересекаются в точке О. Площадь треугольника СОЕ равна 16, СО = 2 ОК. Найдите площадь трапеции.

Дано: Решение:

СЕКМ – трапеция

ЕК, СМ – основания

СК ЕМ=О E K

S =16 h

СО=2ОК S=16 O h₁

Определить:

S_{трапеции} C M

1)S = CO*h, S =16, OK= CO

2)S = OK*h= *CO*h= *СО*h= *16=8, где h – высота и .

3) подобен МОС по 2 углам ( ЕОК= СОМ, как вертикальные,

ОЕК= ОМС, как накрест лежащие при ЕК ||CM и секущей ЕМ) с коэффициентом подобия

= ;

= , поэтому =()²= , следовательно, = ; S =32.

S = h₁*OK= *h₁* CO= S =16, т.к. h₁ – высота и .

S_трап=16+8+32+16=72.

Задача №7

Основанием прямой призмы АВС DA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ является прямоугольник ABCD, стороны которого равны 6 и 12 . Высота призмы равна 8. Секущая плоскость проходит через вершину D ₁ и середины ребер AD и CD. Найдите косинус угла между плоскостью основания и плоскостью сечения.

Дано: Решение:

D₁

A₁

B₁

C₁

D₁

АВСDA₁B₁C₁D₁-прямая призма

ABCD- прямоугольник

DС=6

ВС= 12

DD₁=8

М-середина DА

N-середина DC

(D₁NM)-секущая

Определить

сos ((ABC),(D₁NM)).

Заметим, что сos ((ABC),(D₁NM))= сos D₁PD= сos , где D₁P NM, DP NM, D₁PD -линейный угол двугранного D₁NMD.

1) DB=AC= =30, NM=15, D₁P=h, P DB. NP PM.

2) а) ND₁= = из D₁DN-прямоугольного.

б) MD₁= = из D₁DM- прямоугольного.

3) ND₁M, NP=x, тогда

109-х²=244-(15-х)²,

109-х²=244-225+30х-х²,

х=3, т.е. NP=3.

4) h=D₁P= =10 из DNP - прямоугольного

5) sin = ; sin = = 0.8

6) сos = из D₁DP; сos =0,6

Ответ: сos ((ABC),(D₁NM)) =0,6.

Задача №8

Трапеция ABCD вписана в окружность. Найдите среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус угла BAC равен , синус угла ABD равен .

Дано:

ABCD – трапеция, вписанная Решение:

в окружность,

AD=15,

sin ABD=

Определить:

Среднюю линию трапеции

1) ABCD - равнобедренная трапеция.

а) ABN= DCN по 2 признаку равенства треугольников (AB=CD;

BAC= BDC, как вписанные, опирающиеся на дугу BC; аналогично,

ABD= ACD). Следовательно, BN=NC, AN=ND.

б) BCN DAN, т.к. BNC= AND, как вертикальные, и = .

2) По теореме синусов:

= ; = ; = ; = = .

3) = = ; = , но AD=15, поэтому = ; BC=9.

4) Найдем среднюю линию трапеции ABCD.

KL= ; KL= = 12.

Ответ: средняя линия трапеции равна 12.

Задача №9

В правильной 6-угольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁, все ребра которой равны 2, найдите расстояние от точки В до прямой A ₁ F ₁.

Решение:

F₁

A₁

F A

E₁

D₁

C₁

B₁

2 E B

F A OJJ

E Н B

D C

1) (В,А₁F₁)= (BE,A₁F₁), где ВЕ||A₁F₁,B BE, т.к. ВЕ||AF, AF||A₁F₁.

2) A₁H BE, поэтому (ВЕ,А₁F₁)=A₁H.

3) A₁AH – прямоугольный. А₁Н = , где АН – проекция А₁Н на плоскость.

4) а) АНВ – прямоугольный, sin60^o = ; ; АН =

Или

б) ОАВ – равносторонний. АН (высота) = ; АН = = .

Значит, А₁Н = = .

Ответ: .

Задача №10

В правильной 6-угольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁, стороны основания которой равны 3, а боковые ребра 4, найдите расстояние от точки С до прямой E ₁ D ₁.

Решение: E₁ D₁

F₁ C₁

A₁ B₁

E D

F H C

За расстояние от С до E₁D₁ берем расстояние между Е₁D₁ и FC, (E₁D₁;FC) = D₁H, где

D₁H FC.

Задача №11

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ E ₁ F ₁, стороны основания которой равны 4, а боковые ребра равны 3, найдите расстояние от точки С до прямой А₁В₁.

B₁

A₁

Решение:

F₁

E₁

D₁

C₁

1) Расстояние от точки до прямой есть расстояние между двумя параллельными прямыми, на одной из которых лежит точка.

(А₁В₁|| AB, AB || FC) A₁B₁|| FC. (C; A₁B₁)= (FC; A₁B₁)= B₁H, где В₁Н А₁В₁.

В₁НВ – прямоугольный. В₁Н=

, ВН из

ВНС – прямоугольного (ВН – проекция В₁Н).

sin 60 = ; = ; НВ=2 . В₁Н= = = .

Ответ: .

Задача №12

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М, стороны основания равны 6, а боковые ребра равны 5. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку А и середину ребра МС, параллельно прямой BD.

Дано: Решение:

MABCD-правильная пирамида.

DC=6; МС=5.

К-середина МС

Определить:

S_сеч, проходящего через А и К,

параллельно BD.

1)S_сеч= RK*LN+ AR*LN= LN(RK+AR) = LN*AK;

2) AMC; OM, AK-медианы. AK=AR+RK; RK= AR, из AOR – прямоугольного. AR= , AO= AC; OR= OM; AC= =6 ; AO=3

OM= ; OM= ; OR=

AR= = RK= AK= ;

3) LNM подобен BDM по двум углам; K= (MO – медиана, AK–медиана из AMC, )

LN= BD, т.е. LN= * ;

4) S_сеч= ;

Ответ: S_сеч= 13 .

Задача №13

В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с вершиной М стороны основания равны 3, а боковые ребра 8. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью проходящей через точку В и середину ребра MD, параллельно прямой AC.

Дано: Решение

MABCD-правильная пирамида.

ВС=3; MD=8

P-середина MD

Секущая плоскость

параллельна ФС

Определить: S_сеч

1)Сечение правильной пирамиды – KPSB, где KB=B S из равенства треугольников CKB и ASB, аналогично, KP=PS. PM- высота (медиана)равнобедренного треугольника KPS, BM-высота(медиана) KBS, т.е. PM KS и BM KS.