Решение функциональных уравнений методом подстановки
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Заменяя некоторые переменные функционального уравнения либо конкретными значениями, либо какими-либо другими выражениями пытаемся либо упростить это уравнение, либо привести его к такому виду, что дальнейшее решение станет очевидным. Особенность применяемого метода как раз и состоит в том, что в ряде случаев он позволяет отыскать решения в классе всевозможных функций. 1. Найдите все функции, определённые на множестве Решение: Придадим x значение
Отсюда
Получим систему
Из уравнения (1) выразим
Отсюда
Проверим, действительно ли функция f(x) удовлетворяет уравнению x=x - верно. Ответ: 2. Найти функцию, удовлетворяющую уравнению Решение: 1) Пусть 2) Подставим в исходное уравнение, получим 3)Заменим z на или после преобразований в правой части уравнения: 4)Итак, получили два уравнения: 5)Умножим обе части 1-го уравнения на (-2) и сложим со 2-ым уравнением, получим: 3. Пусть Решение: При замене решением которой при a2 ≠ 1 является функция Ответ: 4. Найти решение системы функциональных уравнений относительно неизвестных функций f(x) и g(x): Решение: В первом уравнении сделаем подстановку 2x = 1/z. При этом и первое уравнение принимает вид: В результате получаем систему уравнений: решение которой g(x) = 1/x, f(x) = x+1. Ответ: g(x) = 1/x, f(x) = x+1.
5. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-х)у. (1)
Решение: Пусть f − функция удовлетворяющая уравнению (1). Поскольку (1) выполняется при всех значениях переменных х и у, то оно будет выполнятся и при конкретных значениях этих переменных. Подставив, например, у = 0 в исходное уравнение, мы получим f(х)=х. Это равенство должно выполнятся при любом действительном х. Таким образом, (1) => f(х)≡х или, иными словами, никакая функция кроме f(х)≡х не может удовлетворять уравнению (1). Это, тем не менее, не доказывает, что функция f(х)≡х является решением функционального уравнения (1). Непосредственная проверка показывает, что найденная функция действительно удовлетворяет уравнению при всех х,у? R.
6. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f(х+у)=х+уf(х)+(1-sin х)у. (2) Решение: Точно также, как и в предыдущей задаче, устанавливаем, что для функции f, которая удовлетворяет (2), должно выполнятся тождество f(х)≡х. Однако, подставив функцию f(х)=х в (2), мы тождества не получим. Поскольку никакие другие функции также не могут быть решениями (2), то данное уравнение решений не имеет.
7. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f(х+у2+2у+1) = у4+4у3+2ху2+5у2+4ху+2у+х2+х+1. (3) Решение: Поскольку мы хотим получить значение f(х), попробуем избавится от слагаемого у2+2у+1 под знаком функции. Уравнение у2+2у+1=0 имеет одно решение у=-1. Подставляя у= -1 в (3) получаем f(х)= х2-х+1. Ответ: f(х)= х2-х+1.
8. Найдите все функции f: R à R, которые при всех х, у? R удовлетворяют уравнению f((х2+6х+6)у)=у2х4+12у2х3+48у2х2-4ух2+72у2х-24ух+36у2-24 (4) Решение: Как и в прошлой задаче, мы хотим получить под знаком функции свободную переменную (х или у). В данном случае, очевидно, проще получить у. Решив уравнение х2+6х+6)у=0 относительно х получаем х1= -1, х2= -5. Подстановка любого из этих значений в (4) дает нам f(у)=у2-4у. 9. Решите следующие функциональные уравнения.
а) f(x)+2f(1/x)=3x (x≠0) б) f(х)+f(x-1/x)=2x (x≠0) в) f(x+y)+f(x-y)=2f(x)cos y Решение: а) Положим у=1/x. Тогда f(1/y) + 2f(y) =3/y и f(y)+2f(1/y)=3y. Отсюда f(y)= 2/y – y. б) Положим y=x-1/x, затем z=y-1/y. Получим систему трёх линейных уравнений относительно f(x), f(y), f(z), з которой находим
в) Положив у=π/2, получаем f(х+π/2) +f(x-π/2)=0 для любого х, откуда f(x+π)= - f(x). Заменив у на у+π/2, получаем
заменив теперь х- π/2 на х, имеем: и с учетом предыдущего: Положив х=0, получаем отсюда и из исходного уравнения: Таким образом, искомая функция должна иметь вид a cos y +b sin y, где a,b – константы. 10. Решение: 1) Заменим
2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением: получаем: 11. Решение: 1)Заменим в уравнении
2) Умножим обе части исходного уравнения
получим:
12. Решение: 1) Заменим в уравнение
2)Умножим уравнение
13.
Решение: 1)Заменим в уравнении
2)Выразим из исходного уравнения
или
3)Подставим
Выполним преобразования
14. Решение: 1.Заменим 2.Умножим обе части уравнения получим
15. Решение: 1)Пусть 2)Пусть 3)Умножим обе части уравнения из п.1 на 2, а обе части уравнения из п.2 на (-3) и почленно сложим получившиеся уравнения:
16. Решение: 1) Заменим
2)Умножим обе части уравнения из п.1 на (-2) и сложим с исходным уравнением: получаем:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|