 |
Тема 8. Функции нескольких переменных
|
|
|
|
ПРОГРАММА КУРСА «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
Тема 1. Элементы линейной алгебры, векторной алгебры и аналитической геометрии
1. Матрицы. Действия над матрицами.
2. Определители второго и третьего порядков, их свойства и вычисление. Определители n -го порядка.
3. Обратная матрица. Ранг матрицы.
4. Системы линейных уравнений. Матричная форма записи. Совместность и несовместность систем. Теорема Кронекера–Капелли. Решение систем методами Крамера, Гаусса и обратной матрицы.
5. Векторы. Линейные операции над векторами и их свойства.
6. Проекция вектора на ось. Прямоугольная система координат в пространстве. Ортонормированная тройка векторов. Координаты вектора. Направляющие косинусы и длина вектора. Линейные операции над векторами в координатной форме.
7. Линейно независимые системы векторов. Базис. Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису.
8. Скалярное произведение векторов и его свойства.
9. Векторное произведение двух векторов и его свойства. Вычисление площади треугольника, построенного на двух векторах.
10. Смешанное произведение векторов и его свойства. Вычисление объема пирамиды, построенной на трех векторах.
11. Взаимное расположение векторов: перпендикулярность, параллельность, компланарность, угол между векторами.
12. Декартовая и полярная системы координат на плоскости. Уравнение линий на плоскости.
13. Различные формы уравнения прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Взаимное расположение прямых на плоскости.
14. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола.
15. Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение плоскостей, прямых, прямой и плоскости.
|
|
|
Тема 2. Введение в математический анализ
1. Множества и функции. Области определения и изменения функции. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные и элементарные функции. Сложная функция. Функции, заданные параметрически и неявно.
2. Окрестность конечной и бесконечно удаленной точки. Конечный и бесконечный пределы функции. Односторонние пределы.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства.
4. Основные теоремы о пределах. Раскрытие неопределенностей.
5. Определение касательной к графику функции. Число e. Натуральные логарифмы. Первый и второй замечательные пределы.
6. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые. Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
7. Непрерывность функции в точке и на отрезке. Критерий непрерывности функции в точке. Точки разрыва и их классификация. Основные теоремы о непрерывных функциях.
Тема 3. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Производная функции, ее геометрический и механический смысл. Дифференцируемость и непрерывность.
2. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций.
3. Производные основных элементарных функций. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование функций, заданных параметрически и неявно.
4. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Основные свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
5. Производные и дифференциалы высших порядков.
6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Коши, Лагранжа). Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей.
Тема 4. Исследование функций с помощью производных
1. Возрастание и убывание функции. Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания дифференцируемой функции.
|
|
|
2. Понятие о локальном экстремуме функции. Необходимые условия экстремума дифференцируемой и непрерывной функций.
3. Достаточные условия экстремума по первой и второй производной. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функций на замкнутом промежутке.
4. Асимптоты графика функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и их нахождение.
5. Выпуклые и вогнутые функции. Достаточные условия выпуклости и вогнутости функций. Точки перегиба.
6. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
Тема 5. Неопределенный интеграл
1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов.
2. Методы нахождения неопределенных интегралов: интегрирование по частям и заменой переменной.
3. Интегрирование рациональных функций.
4. Интегрирование простейших иррациональных функций и тригонометрических выражений.
Тема 6. Определенный интеграл, несобственные интегралы
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла (о площади криволинейной трапеции, о нахождении пути, пройденного материальной точкой). Определенный интеграл и его основные свойства.
2. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона – Лейбница.
3. Замена переменной в определенном интеграле.
4. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
5. Приложение определенных интегралов к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объемов тел и площадей поверхностей вращения. Физические приложения определенного интеграла.
6. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.
Тема 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения
1. Дифференциальные уравнения. Основные понятия и определения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка (решение, общее решение, начальные условия, частное решение). Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
3. Основные классы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах (уравнения с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли).
|
|
|
4. Дифференциальные уравнения высших порядков. Задача Коши и частное решение. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка.
5. Линейные дифференциальные уравнения n -го порядка. Свойства решений.
6. Линейные однородные дифференциальные уравнения. Структура общего решения.
7. Линейные неоднородные уравнения. Структура общего решения.
8. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
9. Линейные неоднородные уравнения второго порядка со специальной правой частью. Метод подбора частных решений.
10. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.
11.Общее понятие о системах дифференциальных уравнений, задача Коши. Нормальные системы дифференциальных уравнений. Линейные системы дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями и их решение методом сведения к дифференциальному уравнению второго порядка с одной неизвестной функцией.
Тема 8. Функции нескольких переменных
1. Понятие функции нескольких переменных, область определения, значений и график. Функция нескольких переменных, как функция точки.
2. Линии уровня. Поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
3. Предел и непрерывность функции двух переменных.
4. Частные производные. Полный и частный дифференциалы функции многих переменных. Инвариантность формы полного дифференциала. Дифференцирование сложных и неявно заданных функций.
5. Градиент и производная по направлению функции нескольких переменных, их свойства.
6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
7. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях.
8. Частные производные и дифференциалы высших порядков.
9. Экстремумы функций двух переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
10. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
Тема 9. Ряды
1. Основные понятия. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.
2. Необходимый признак сходимости числового ряда. Свойства сходящихся числовых рядов.
|
|
|
3. Знакоположительные ряды. Первый и второй признаки сравнения, признак Даламбера, интегральный признак Коши.
4. Знакопеременные ряды. Абсолютная и уловная сходимость. Знакочередующиеся ряды, признак Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.
5. Функциональные ряды, область сходимости и сумма ряда. Степенные ряды. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда. Непрерывность суммы, интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
6. Ряд Тейлора. Разложение основных элементарных функций в ряд Тейлора.
7. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях и к решению дифференциальных уравнений.
|
|
|
