Матрица линейного преобразования
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Решение матричных уравнений Матричные уравнения могут иметь вид: АХ = В, ХА = В, АХВ = С, где А,В,С — задаваемые матрицы, Х- искомая матрица. Матричные уравнения решаются с помощью умножения уравнения на обратные матрицы. Например, чтобы найти матрицу из уравнения , необходимо умножить это уравнение на слева. Тогда: Следовательно, чтобы найти решение уравнения , нужно найти обратную матрицу и умножить ее на матрицу , стоящие в правой части уравнения. Аналогично решаются другие уравнения. Пример 2 Решить уравнение АХ = В, если Решение: Так как обратная матрица равняется (см. пример 1)
№22 Линейные пространства
Пусть V - непустое множество (его элементы будем называть векторами и обозначать ...), в котором установлены правила: 1) любым двум элементам соответствует третий элемент называемый суммой элементов (внутренняя операция); 2) каждому и каждому отвечает определенный элемент (внешняя операция). Множество V называется действительным линейным (векторным) пространством, если выполняются аксиомы: I. II. III. (нулевой элемент, такой, что ). IV. (элемент, противоположный элементу ), такой, что V. VI. VII. VIII.
Множество называется подпространством линейного пространства V, если: 1) 2)
№23 Система векторов линейного пространства L образует базис в L если эта система векторов упорядочена, линейно независима и любой вектор из L линейно выражается через векторы системы. Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов e 1,..., e n
x = С1· e 1+С2 ·e 2+...+С n · e n.
Можно определить базис иначе. Любая упорядоченная линейно независимая система e 1,..., e n векторов n- мерного линейного пространства Ln образует базис этого пространства. Поскольку n, размерность пространства Ln — максимальное количество линейно независимых векторов пространства, то система векторов x, e 1,..., e n линейно зависима и, следовательно, вектор x линейно выражается через векторы e 1,..., e n: x = x 1· e 1+ x 2 ·e 2+...+ xn · e n. Такое разложение вектора по базису единственно.
Теорема 1. (О числе векторов в линейно независимых и порождающих системах векторов.) Число векторов в любой линейно независимой системе векторов не превосходит числа векторов в любой порождающей системе векторов этого же векторного пространства. Доказательство. Пусть произвольная линейно независимая система векторов, - произвольная порождающая система. Допустим, что . Мы можем считать, что все векторы порождающей системы ненулевые, т.к. нулевые векторы можно удалить из системы и оставшаяся система векторов, очевидно, остается порождающей. Т.к. порождающая система, то она представляет любой вектор пространства, в том числе и вектор . Присоединим его к этой системе. Получаем линейно зависимую и порождающую систему векторов: . Тогда найдется вектор этой системы, который линейно выражается через предыдущие векторы этой системы и его, в силу леммы, можно удалить из системы, причем оставшаяся система векторов будет по-прежнему порождающей. Перенумеруем оставшуюся систему векторов: . Т.к. эта система порождающая, то она представляет вектор и, присоединяя его к этой системе, опять получаем линейно зависимую и порождающую систему: . Далее все повторяется. Найдется вектор в этой системе, который линейно выражается через предыдущие, причем это не может быть вектор , т.к. исходная система линейно независимая и вектор не выражается линейно через вектор . Значит, это может быть только один из векторов . Удаляя его из системы , получаем, после перенумерования, систему , которая будет порождающей системой. Продолжая этот процесс, через шагов получим порождающую систему векторов: , где , т.к. по нашему предположению . Значит, эта система, как порождающая, представляет и вектор , что противоречит условию линейной независимости системы .
Теорема 1 доказана. Теорема 2. (О количестве векторов в базисе.) В любом базисе векторного пространства содержится одно и тоже число векторов. Доказательство. Пусть и – два произвольных базиса векторного пространства. Любой базис является линейно независимой и порождающей системой векторов. Т.к. первая система линейно независимая, а вторая – порождающая, то, по теореме 1, . Аналогично, вторая система линейно независимая, а первая – порождающая, то . Отсюда следует, что , ч.т.д. Теорема 2 доказана. Данная теорема позволяет ввести следующее определение. Определение. Размерностью векторного пространства V над полем K называется число векторов в его базисе. Обозначение: или .
№24 Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору. где — координаты вектора.
Свойства · Равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты · Координаты коллинеарных векторов пропорциональны: Подразумевается, что координаты вектора не равны нулю. · Квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат: · При умножении вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число: · При сложении векторов соответствующие координаты векторов складываются: · Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: · Векторное произведение двух векторов можно вычислить с помощью определителя матрицы где · Аналогично, смешанное произведение трех векторов можно найти через определитель
Ма́трицей перехо́да от базиса к базису является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов в базисе .
Обозначается Представление Так как . . . . Матрица перехода это
Свойства · Матрица перехода является невырожденной. То есть определитель этой матрицы не равен нулю. ·
№25 Линейные подпространства Рассмотрим некоторое подмножество X1 линейного пространства X, т.е. X1 Н X. Определение. Подмножество X1 линейного пространства X называется линейным подпространством, если для любых векторов x, y О X1 и любого числа α: x + y О X1; αx О X1. Рассмотрим два линейных подпространства X1 и X2 линейного пространства X. Если любой вектор x О X может быть единственным образом представлен в виде x = x1 + x2, где x1 О X1 и x2 О X2, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X1 и X2. Прямая сумма обозначается X = X1 + X2. Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.
Я НЕ НАШЕЛ «ПОДПРОСТРАНСТВА ПРОСТРАНСТВА R3» №26 Матрица линейного преобразования В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом. Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим . Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим
Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , ,..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно, Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования
Это равенство означает, что -той координатой вектора служит . Составим матрицу из координатных столбцов векторов ,..., Вычислим произведение матрицы на столбец Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому
Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора. Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.
Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1. Выберем какой-нибудь базис . Тогда Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге
Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2. Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j. Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и . Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота
Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол имеет вид №26 Действия с линейными преобразованиями.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|