 |
Канонический вид квадратичной формы
|
|
|
|
Квадратичная форма называется канонической, если все 
т. е.
Всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейных преобразований. На практике обычно применяют следующие способы.
1. Ортогональное преобразование пространства 
:
где 
- собственные значения матрицы A.
2. Метод Лагранжа - последовательное выделение полных квадратов. Например, если 
Затем подобную процедуру проделывают с квадратичной формой 
и т. д. Если в квадратичной форме все 
но есть 
то после предварительного преобразования дело сводится к рассмотренной процедуре. Так, если, например, 
то полагаем 
3. Метод Якоби (в случае, когда все главные миноры 
квадратичной формы отличны от нуля):
№31
Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка
Ах + Ву + С = 0,
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. В зависимости от значений постоянных А,В и С возможны следующие частные случаи:
• C = 0, А ≠0, В ≠ 0 – прямая проходит через начало координат
• А = 0, В ≠0, С ≠0 { By + C = 0}- прямая параллельна оси Ох
• В = 0, А ≠0, С ≠ 0 { Ax + C = 0} – прямая параллельна оси Оу
• В = С = 0, А ≠0 – прямая совпадает с осью Оу
• А = С = 0, В ≠0 – прямая совпадает с осью Ох
Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0, A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0; (3.2)
2) двумя своими точками M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
= 
; (3.3)
3) точкой M1(x1, y1, z1), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:
|
|
|
. (3.4)
Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.
Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:
x = x1 +mt, y = y1 + nt, z = z1 + рt. (3.5)
Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:
x = mz + a, y = nz + b. (3.6)
От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:
.
От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n 1, n 2], где n 1(A1, B1, C1) и n 2(A2, B2, C2) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система
равносильна системе 
; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система 
равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.
№32
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
№33-36
Прямая может принадлежать и не принадлежать плоскости. Она принадлежит плоскости, если хотя бы две точки ее лежат на плоскости.
|
|
|
Если прямая не принадлежит плоскости, она может быть параллельной ей или пересекать ее.
Прямая параллельна плоскости, если она параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.
Прямая может пересекать плоскость под различными углами и, в частности, быть перпендикулярной ей.
Точка по отношению к плоскости может быть расположена следующим образом: принадлежать или не принадлежать ей. Точка принадлежит плоскости, если она расположена на прямой, расположенной в этой плоскости.
В пространстве две прямые могут либо пересекаться, либо быть параллельными, либо быть скрещенными.
Параллельность отрезков прямых сохраняется в проекциях.
Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноимённых проекций находятся на одной линии связи.
Скрещивающиеся прямые не принадлежат одной плоскости, т.е. не пересекаются и не параллельны.
на чертеже одноименные проекции прямых, взятые отдельно, имеют признаки пересекающихся или параллельных прямых.
№37
Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).
Простейшее уравнение эллипса
где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2 c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение
a 2 - b 2 = c 2.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси
У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.
№38
Уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 
.
Параметры:
a, b – полуоси;
- расстояние между фокусами, 
- эксцентриситет;
- асимптоты;
- директрисы.
Прямоугольник, изображенный в центре рисунка – основной прямоугольник, его диагонали есть асимптоты.
Уравнение гиперболы, изображенной на рисунке 
.
Параметры:
a, b – полуоси;
- расстояние между фокусами, 
- эксцентриситет;
- асимптоты;
- директрисы.
Прямоугольник, изображенный в центре рисунка – основной прямоугольник, его диагонали есть асимптоты.
|
|
|
№39
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.
Простейшее уравнение параболы
y 2 = 2 px. (*)
Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.
Координаты фокуса F параболы (*) 
. (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)
Эксцентриситет параболы e = 1.
y 2 = 2 px (p > 0)
№40
|
|
|
