 |
Определение ускорения точки при естеств
|
|
|
|
Вектор ускорения a точки лежит в соприкасающейся плоскости P 
n и определяется двумя проекциями 
и an (ab = 0):
проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от алгебраической скорости или второй производной от криволинейной координаты точки по времени:
= d 
/ dt = d2s /dt2 или = 
= 
.
проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой:
an = v2 / 
.
Величины и an соответственно называют касательным и нормальным ускорениями точки.
Вектор ускорения a является векторной суммой касательной составляющей 
, напраленной вдоль касательной P , и нормальной составляющей an, направленной вдоль главной нормали Pn:
a = + an.
При этом составляющая может быть направлена или в положительном, или в отрицательном направлении оси P в зависимости от знака проекции , а составляющая an будет всегда направлена в сторону вогнутости кривой, так как проекция an 
0.
Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора a определяется по формуле:
a = (
2 + an2) 
.
Определение скорости точки при координатном
Рассмотрим методы вычисления скорости и ускорения точки, если ее движение в пространстве задано в декартовых прямоугольных координатах уравнениями x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:
vx = dx / dt; vy = dy / dt; vz = dz / dt;
или
vx = 
; vy = 
; vz = 
,
где точка над координатой означает символ дифференцирования по времени.
Модуль и направляющие косинусы (косинусы углов, которые образует вектор v с координатными осями Ox, Oy, Oz) вектора v выражаются через его проекции по следующим формулам:
|
|
|
v =(vx2 + vy2 + vz2) 
; cos(v,Ox) = vx / v; cos(v,Oy) = vy / v; cos(v,Oz) = vz / v.
Определение ускорения точки при координатном
Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:
ax = dvx / dt = d2x / dt2; ay = dvy / dt = d2y / dt2; az = dvz / dt = d2z / dt2;
или
ax = 
x= 
; ay = y= 
; az = z= 
;
Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения a выражаются через его проекции по следующим формулам:
a =(va2 + ay2 + az2) ; cos(a,Ox) = ax / a; cos(a,Oy) = ay / a; cos(a,Oz) = az / a.
Скорость в векторном
Скоростью точки в данный момент времени называется вектор v, равный первой производной от ее радиуса-вектора r по времени:
v = dr/dt = 
;
(Производную по времени принято в механике обозначать точкой над дифференцируемой величиной).
Вектор скорости, характеризующий изменение с течением времени модуля и направления радиуса-вектора точки, направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения.
При прямолинейном движении вектор скорости v все время направлен вдоль прямой, по которой движется точка, и может изменяться лишь по величине; при криволинейном движении кроме модуля все время изменяется и направление вектора скорости точки.
В качестве единиц измерения скорости применяют обычно м/с или км/ч.
Ускорение в векторном
Ускорением точки в данный момент времени называется вектор a, равный первой производной от вектора скорости v или второй производной от ее радиуса-вектора r по времени:
a = dv/dt = dr2/dt2; или a = 
= 
.
Ускорение точки, как векторная величина, характеризует изменение с течением времени модуля и направления вектора скорости точки.
Рассмотрим, как располагается вектор a по отношению к траектории точки.
При прямолинейном движении вектор a направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Если траекторией является пространственная кривая, то вектор a направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в соприкасающейся плоскости. Так называют плоскость, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении dr = vdt движущейся точки (подробнее это понятие изложено при задании движения точки естественным способом). Для пространственной кривой в каждой ее точке будет, вообще говоря, своя соприкасающаяся плоскость. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех ее точек.
|
|
|
В качестве единицы измерения ускорения применяется обычно м/с2.
скорость любой точки плоской фигуры в плоской движении, равна геометрической сумме скорости полюса и скорости рассматриваемой точки при вращении фигуры вокруг полюса.
Теорема. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.
|
|
|
