 |
Методы оценивания спектральных плотностей мощности с использованием дискретного преобразования Фурье
|
|
|
|
Дискретное преобразование Фурье (финитное) определяется соотношением (2.2):
 ,
| (2.2) |
где
X(k) - значение (комплексное) дискретного преобразования Фурье, определенное в частоте с номером k;
x(i) - значение (вещественное) исходного временного ряда, определенное в момент времени с номером i;
T - период дискретизации;
N - количество отсчетов (длина) временного ряда.
Дискретное преобразование Фурье связывает спектральную характеристику (комплексный спектр) X(k), определенную в дискретных значениях частоты (с номером k), с дискретными значениями временного ряда (сигнала) x(i), определенными в дискретные моменты времени (с номером i).
Точность представления спектральной характеристики определяется разрешением по частоте
| (2.3) |
Обратное дискретное преобразование Фурье определяется соотношением (2.4):
| (2.4) |
Из сравнения формул (2.2) и (2.4) следует, что они отличаются знаком показателя экспоненты, множителем перед знаком суммы, а также переменной суммирования. Это позволяет строить единые программы для прямого и обратного преобразований Фурье.
Применяя формулу Эйлера, выражение (2.2) можно привести к виду (2.5):
| (2.5) |
где
| (2.6) |
Оценивание спектральной плотности мощности (СПМ) с помощью дискретного преобразования Фурье осуществляется по формуле (2.7):
| (2.7) |
Где X(k) - дискретное преобразование Фурье (спектральная характеристика) временного ряда 
, соответствующего процессу x(t);
T - период дискретизации процесса x(t);
N - длина временного ряда.
Черта в правой части формулы (2.7) означает операцию осреднения. Применение формулы (2.7) без операции осреднения приводит к получению "грубой" оценки СПМ. Формула (2.7) позволяет вычислить оценку СПМ посредством статистического осреднения модуля спектральной характеристики совокупности данных, поделенного на длину записи данных. Статистическое осреднение необходимо здесь потому, что ординаты спектральной характеристики являются случайными величинами изменяющимися для каждой используемой реализации случайного временного ряда .
|
|
|
Операция осреднения уменьшает статистическую изменчивость, или повышает статистическую устойчивость. В спектральном анализе случайных временных рядов на статистическую устойчивость влияют два параметра - разрешение по частоте 
и длина записи 
.
Можно показать, что оценки СПМ приближенно имеют распределение 
с n степенями свободы, где 
. Более того, для достаточно больших n, например, 
, распределение 
аппроксимируется гауссовским (нормальным) распределением. В этом случае нормированное стандартное отклонение (стандартное отклонение, связанное с оцениваемой величиной, т.е. процентная ошибка, или, в статистической терминологии, "коэффициент разброса") определяется соотношением (2.8):
| (2.8) |
Величину 
называют стандартной ошибкой.
Если 
, то 
.
Последний результат означает, что вычисление оценки СПМ с использованием полной длины временного ряда имеет стандартную ошибку, равную 100%.
Если отрезок Tp поделить на m участков, то в этом случае
.
Подставляя полученный результат в (2.8), найдем
.
Таким образом, для повышения точности оценивания СПМ необходимо исходный временной ряд длины N разбить на m участков длины Nу, вычислить для каждого i-го участка 
по формуле (1), а затем найти осредненную оценку по формуле
.
Следует иметь в виду, что разрешение по частоте в рассмотренном случае определяется из соотношения 
. Число степеней свободы для найденной оценки СПМ можно найти следующим образом
.
Следовательно, для повышения степеней свободы и, соответственно, статистической устойчивости оценок СПМ необходимо увеличивать число участков для осреднения.
|
|
|
Повышение числа степеней свободы можно достичь другим способом – осреднением по частотам.
Сглаженная оценка
 ,
| (2.9) |
полученная осреднением l соседних оценок спектральной характеристики, имеет распределение 
с числом степеней свободы, равным примерно 2 l. Это следует из теории о сложении величин, имеющих распределение .
Следует отметить, что разрешение по частоте в данном случае определится из соотношения 
.
Поскольку операция осреднения линейная, оценку СПМ можно найти, комбинируя осреднение по участкам с осреднением по частотам. При этом сначала выполняется осреднение по участкам, а затем – по частотам. При осреднении по m участкам с последующим осреднением l соседних спектральных оценок в итоге получаются оценки, число степеней, свободы которых равно 
. Разрешение в этом случае равно 
.
|
|
|
