 |
Дискретные случайные величины
|
|
|
|
● Закон распределения случайной величины
43. Случайная величина 
принимает только целые значения 
. При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: 
. Найдите значение константы 
и вероятность 
.
| X | 1 | 2 | 3 | …. | k | … | 28 |
| P | c | 2c | 3c | …. | kc | … | 28c |
C(1+2+…+28)=1
44. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения 
. При этом 
. Найдите значение константы 
и вероятность 
.
| X | 0 | 1 | 2 | … | k |
| P | c | c/6 | c/6^2 | … | c/6^k |
● Независимые дискретные случайные величины
45. Независимые дискретные случайные величины 
принимают только целые значения: – от 
до 
с вероятностью 
, 
– от до 
с вероятностью 
. Найдите вероятность 
.
46. Независимые случайные величины 
принимают только целые значения: – от до 
с вероятностью 
, – от до 
с вероятностью 
. Найдите вероятность 
.
47. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до 
с вероятностью 
, – от до с вероятностью . Найдите вероятность 
.
48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от 
до 
с вероятностью , – от до с вероятностью 
. Найдите вероятность 
.
49. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: – от 
до 
, – от до 
. Найдите 
, если известно, что возможные значения и равновероятны.
50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от 
до с вероятностью 
. Найдите 
.
51. Независимые случайные величины 
принимают только целые значения от 
до 
. Найдите вероятность 
, если известно, что все возможные значения равновероятны.
52. Независимые случайные величины 
принимают только целые значения: 
– от 
до 
с вероятностью , 
– от до 
с вероятностью , 
– от 
до 
с вероятностью 
. Найдите вероятность того, что 
примут разные значения.
|
|
|
53. Независимые случайные величины 
принимают только целые значения: – от до 
с вероятностью 
, – от до с вероятностью , 
– от до с вероятностью . Найдите вероятность 
.
● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины
54. Распределение дискретной случайной величины 
задано таблицей
|
| 
| 
|
|
| 
| 
| 
|
Найдите математическое ожидание 
и вероятность 
.
55. Дискретная случайная величина 
принимает только целые значения 
, каждое с вероятностью 
. Найдите математическое ожидание 
и вероятность 
.
56. Распределение дискретной случайной величины 
задано таблицей
|
|
| 
|
|
|
| 
|
| 
|
Найдите дисперсию 
.
57. Распределение случайной величины задано таблицей
|
|
|
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
|
|
Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение 
и вероятность 
.
58. Для случайной величины известно, что 
. 
Найдите дисперсию 
.
59. Независимые дискретные случайные величины 
могут принимать только значения 
и . При этом 
, 
. Найдите математическое ожидание 
.
| X | 0 | 1 | Y | 0 | 1 |
| P | 0.1 | 0.9 | P | 0.9 | 0.1 |
60. Независимые дискретные случайные величины 
могут принимать только значения 
и . При этом 
, 
. Найдите математическое ожидание 
.
| X | 0 | 1 | Y | 0 | 1 |
| P | 0.1 | 0.9 | P | 0.6 | 0.4 |
61. Дискретные случайные величины 
распределены по закону, заданному таблицей
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите математическое ожидание 
.
62. Независимые случайные величины 
принимают только целые значения 
. Найдите математическое ожидание 
, если известно, что возможные значения равновероятны.
63. Для независимых случайных величин 
известно, что их математические ожидания 
, дисперсии 
, 
. Найдите дисперсию произведения 
.
64. Независимые случайные величины 
могут принимать только значения и . При этом 
, 
. Найдите математическое ожидание 
.
|
|
|
| Xi | 0 | 1 |
| P | 0.9 | 0.1 |
65. Независимые случайные величины 
могут принимать только значения и . При этом 
, 
. Найдите математическое ожидание 
.
66. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна 
, вероятность проигрыша рублей равна 
. Найдите дисперсию капитала игрока после партий.
● Основные дискретные законы распределения и их характеристики
67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых 
и 
соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание 
и дисперсию 
.
68. Производится 
независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются 
монет. Пусть 
– число испытаний, в которых выпало 
герба. Найдите математическое ожидание 
.
– число испытаний, в которых выпало 
герба.
69. Случайные величины 
распределены по биномиальному
закону с параметрами 
и 
. Найдите математическое ожидание 
.
70. Случайные величины 
независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами 
и. 
Найдите математическое ожидание 
.
71. Отрезок длины 
поделен на две части длины 
и 
соответственно. Наудачу 
точек последовательно бросают на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины 
. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .
72. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались 
. Найдите дисперсию 
.
73. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами 
, – число успехов в испытаниях с номерами 
. Найдите дисперсию 
.
U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4
V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7
W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.
Каждая из величин имеет биномиальное распределение
74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых 
и 
соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание 
и дисперсию .
|
|
|
Геометрическое распределение
75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).
T-время ожидания
T=T1+T2
T1, T2-независимы
Т1-время ожидания 1-го выигрыша
Т2-время ожидания др. выигрыша
76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события 
в одном испытании равна 
. Пусть 
– время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание 
и дисперсию 
.
Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события
Геометрическое распределение
77. Случайные величины 
распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание 
.
78. Случайные величины независимы 
и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным 
. Найдите математическое ожидание 
.
79. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию 
, если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .
80. Случайная составляющая выручки равна 
, где – биномиальная случайная величина с параметрами 
и 
. Случайная составляющая затрат имеет вид 
, где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а 
.
81. Для пуассоновской случайной величины отношение 
. Найдите математическое ожидание 
.
● Ковариация и коэффициент корреляции
82. Даны математические ожидания случайных величин и : 
, 
, их дисперсии 
, 
и ковариация Cov 
. Найдите математическое ожидание 
и дисперсию 
.
83. Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию 
, если вероятности 
, а коэффициент корреляции и равен 
.
|
|
|
| X | 1 | 0 | Y | 1 | 0 |
| P | 0.5 | 0.5 | P | 0.5 | 0.5 |
84. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии 
, 
, а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание 
.
85. Случайные величины 
распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание 
.
86. Случайные величины 
независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание 
.
87. Случайные величины 
распределены по закону Пуассона. Найдите 
, если 
и 
, а коэффициент корреляции и равен 
.
|
|
|
