 |
Непрерывные случайные величины
|
|
|
|
● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины
88. Случайная величина 
имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности 
случайной величины 
.
89. Случайная величина 
имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
90. Случайная величина имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
91. Распределение непрерывной случайной величины 
задано плотностью вероятности 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
92. Случайная величина имеет плотность вероятности 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
93. Случайная величина имеет плотность вероятности 
Найдите константу 
и вероятность 
.
94. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите константу 
и вероятность 
.
95. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите константу и вероятность 
.
96. Плотность вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите и 
.
● Равномерное распределение на отрезке
97. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите вероятность 
.
98. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите вероятность 
.
99. Случайные величины 
независимы и равномерно распределены на отрезке 
. Найдите математическое ожидание 
.
100. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 
Найдите коэффициент корреляции случайных величин и 
101. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите математическое ожидание 
.
102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите дисперсию 
.
|
|
|
103. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите 
.
104. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите 
.
105. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и 
с равномерными законами распределения: – на отрезке 
, – на отрезке .
106. Случайные величины и независимые и равномерно распределены на отрезках: – на отрезке 
, – на отрезке 
. Найдите 
.
● Показательное распределение
107. Случайные величины и независимые и распределены по показательному закону, причём 
, 
. Найдите 
.
108. Случайные величины 
независимы и распределены по показательному закону. Найдите 
, если 
.
109. Случайная величина 
распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание 
, если дисперсия 
.
110. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание 
, если дисперсия 
.
111. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите вероятность 
, если 
.
● Нормальное распределение на прямой
112. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
113. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
. Найдите вероятность попадания в интервал 
.
114. Для нормальной случайной величины известно, что математическое ожидание 
и вероятность 
Найдите дисперсию 
.
115. Для нормальной случайной величины известно, что дисперсия 
и вероятность 
. Найдите математическое ожидание 
.
116. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
117. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин 
равны 1. Найдите вероятность 
.
118. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
119. Для независимых нормальных случайных величин , известны их математические ожидания и дисперсии: 
, 
, 
, 
. Найдите вероятность 
.
|
|
|
120. Независимые нормальные случайные величины 
имеют одинаковые параметры: 
, 
, 
. Для случайной величины 
найдите вероятность 
.
121. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
122. Случайные величины и независимые и распределены по нормальному закону, причём 
, 
. Найдите 
.
Случайные векторы
● Двумерные дискретные случайные векторы
123. Найдите распределение случайной величины 
и 
, если известно распределение случайного дискретного вектора 
:
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
| Z | ||||
| P | 1/12 | 5/24+0 | 1/12+5/24=7/24 | 5/12 |
124. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
| 
| 
| |
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и 
.
125. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и 
.
126. Распределение случайного вектора 
задается таблицей 
Найдите 
так, чтобы коэффициент корреляции случайных величин и был равен 
127. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение случайного дискретного вектора :
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
| Z | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 1/8 | 1/6+1/4=5/12 | 1/8+1/6=7/24 | 1/6 |
M(Z)=1*1/8+2*5/12+3*7/24+4*1/6=2.5
128. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
| 
| 
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и .
129. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
| 
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | -3 | -2 | -1 |
| P | 1/6+1/6=1/3 | 1/12+1/6+1/6=5/12 | ¼ |
M(Z)=-3*1/3-2*5/12-1*1/4=-25/12
130. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события и 
.
131. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
| 
| |
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | 5 | 6 | 7 |
| P | 1/4+5/24+1/12=13/24 | 1/12+1/4=1/3 | 1/8 |
M(Z)=5*13/24+6*1/3+7*1/8=67/12
132. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z=X/Y | 1 | -1 | 0 |
| P | 1/4+1/12=1/3 | 1/8+1/8=1/4 | 1/6+1/4=5/12 |
M(Z)=1/3-1/4=1/12
|
|
|
133. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и .
134. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
| 
| 
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события и .
135. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | 1 | 2 |
| P | 1/6 | 1/12 |
M(Z)=1*1/6+2*1/12=1/3
136. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
|
| 
|
| Z | -2 | -1 |
| P | 1/12+1/24=3/24 | 1/6+1/65/24+1/3=7/8 |
M(Z)=-2*3/24+-1*7/8=-9/8
137. Найдите 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
для случайного дискретного вектора 
, распределенного по закону 
● Условные дискретные распределения
138. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
| -1 | 0 | -1 | 0 |
| P | 1/12:19/24=2/19 | 1/4:19/24=6/19 | 5/24:19/24=5/19 | 1/4:19/24=6/9 |
139. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
| 2 | 3 | 2 | 3 |
| P | 1/12:9/24=2/9 | 5/24:9/24=5/9 | 0:9/24=0 | 1/12:9/24=2/9 |
140. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
P(X+Y=5)=1/4+1/8=3/8
| Y|X+Y=5 | 2 | 3 |
| P | 1/8:3/8=1/3 | ¼:3/8=2/3 |
M(Y|X+Y=5)=2*1/3+3*2/3=2+2/3
141. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 40 | 90 |
| P | 0.4 | 0.6 |
| Z | 2 | 3 |
Z=M(Y|X)
M(Y)=M(Z)=2*0.4+3*0.6=0.8+1.8=2.6
142. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 20 | 80 |
| P | 0.4 | 0.6 |
| Z | 3 | 1 |
M(XY)=M(X*M(Y|X))
M(XY)=20*0.4*3+80*0.6*1=24+48=72
143. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 40 | 70 |
| P | 0.2 | 0.8 |
| Z | 1 | 1 |
Cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)
M(X)=40*0.2+70*0.8=8+56=64
M(Y)=40*0.2*1+70*0.8*1=64
Cov(X;Y)=64-64=0
144. Дано: 
и 
Найдите 
.
| X | 30 | 80 |
| P | 0.1 | 0.9 |
| Z | 9 | 8 |
M(Z)=0.1*9+0.9*8=8.1
145. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 50 | 80 |
| P | 0.6 | 0.4 |
| Z | 2 | 2 |
Z=M(Y|X)
D(Z)=M(Z2)-(M(Z))2
M(Z)=0.6*2+0.4*2=2
M(Z2)=4*0.6+4*0.4=4
D(Z)=4-4=0
146. Дано: 
и 
Найдите
