Непрерывные случайные величины
● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины
88. Случайная величина
имеет функцию распределения
. Найдите плотность вероятности
случайной величины
.

89. Случайная величина
имеет функцию распределения
. Найдите плотность вероятности
случайной величины
.

90. Случайная величина
имеет функцию распределения
. Найдите плотность вероятности
случайной величины
.

91. Распределение непрерывной случайной величины
задано плотностью вероятности
. Найдите плотность вероятности
случайной величины
.

92. Случайная величина
имеет плотность вероятности
. Найдите плотность вероятности
случайной величины
.

93. Случайная величина
имеет плотность вероятности
Найдите константу
и вероятность
.

94. Функция плотности вероятности случайной величины
имеет вид
. Найдите константу
и вероятность
.

95. Функция плотности вероятности случайной величины
имеет вид
. Найдите константу
и вероятность
.

96. Плотность вероятности случайной величины
имеет вид
. Найдите
и
.

● Равномерное распределение на отрезке
97. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите вероятность
.

98. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите вероятность
.

99. Случайные величины
независимы и равномерно распределены на отрезке
. Найдите математическое ожидание
.

100. Случайная величина
имеет равномерное распределение на отрезке
Найдите коэффициент корреляции случайных величин
и 

101. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите математическое ожидание
.

102. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите дисперсию
.

103. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите
.

104. Случайная величина
равномерно распределена на отрезке
. Найдите
.

105. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин
и
с равномерными законами распределения:
– на отрезке
,
– на отрезке
.

106. Случайные величины
и
независимые и равномерно распределены на отрезках:
– на отрезке
,
– на отрезке
. Найдите
.

● Показательное распределение
107. Случайные величины
и
независимые и распределены по показательному закону, причём
,
. Найдите
.

108. Случайные величины
независимы и распределены по показательному закону. Найдите
, если
.

109. Случайная величина
распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание
, если дисперсия
.

110. Случайная величина
распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание
, если дисперсия
.

111. Случайная величина
распределена по показательному закону. Найдите вероятность
, если
.

● Нормальное распределение на прямой
112. Для нормальной случайной величины
с математическим ожиданием
и дисперсией
найдите вероятность
.

113. Случайная величина
имеет нормальное распределение с параметрами
и
. Найдите вероятность попадания
в интервал
.

114. Для нормальной случайной величины
известно, что математическое ожидание
и вероятность
Найдите дисперсию
.

115. Для нормальной случайной величины
известно, что дисперсия
и вероятность
. Найдите математическое ожидание
.

116. Для нормальной случайной величины
с математическим ожиданием
и дисперсией
найдите вероятность
.

117. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин
равны 1. Найдите вероятность
.

118. Для нормальной случайной величины
с математическим ожиданием
и дисперсией
найдите вероятность
.

119. Для независимых нормальных случайных величин
,
известны их математические ожидания и дисперсии:
,
,
,
. Найдите вероятность
.

120. Независимые нормальные случайные величины
имеют одинаковые параметры:
,
,
. Для случайной величины
найдите вероятность
.

121. Для нормальной случайной величины
с математическим ожиданием
и дисперсией
найдите вероятность
.

122. Случайные величины
и
независимые и распределены по нормальному закону, причём
,
. Найдите
.

Случайные векторы
● Двумерные дискретные случайные векторы
123. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение случайного дискретного вектора
:
Z
|
|
|
|
|
P
| 1/12
| 5/24+0
| 1/12+5/24=7/24
| 5/12
|

124. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

125. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

126. Распределение случайного вектора
задается таблицей 
Найдите
так, чтобы коэффициент корреляции случайных величин
и
был равен 

127. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение случайного дискретного вектора
:
Z
| 1
| 2
| 3
| 4
|
P
| 1/8
| 1/6+1/4=5/12
| 1/8+1/6=7/24
| 1/6
|
M(Z)=1*1/8+2*5/12+3*7/24+4*1/6=2.5
128. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

129. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение дискретного случайного вектора
:
Z
| -3
| -2
| -1
|
P
| 1/6+1/6=1/3
| 1/12+1/6+1/6=5/12
| ¼
|
M(Z)=-3*1/3-2*5/12-1*1/4=-25/12
130. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

131. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение дискретного случайного вектора
:
Z
| 5
| 6
| 7
|
P
| 1/4+5/24+1/12=13/24
| 1/12+1/4=1/3
| 1/8
|
M(Z)=5*13/24+6*1/3+7*1/8=67/12
132. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение дискретного случайного вектора
:
Z=X/Y
| 1
| -1
| 0
|
P
| 1/4+1/12=1/3
| 1/8+1/8=1/4
| 1/6+1/4=5/12
|
M(Z)=1/3-1/4=1/12
133. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

134. Для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону
выясните, зависимы или нет события
и
.

135. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение дискретного случайного вектора
:
M(Z)=1*1/6+2*1/12=1/3
136. Найдите распределение случайной величины
и
, если известно распределение дискретного случайного вектора
:
Z
| -2
| -1
|
P
| 1/12+1/24=3/24
| 1/6+1/65/24+1/3=7/8
|
M(Z)=-2*3/24+-1*7/8=-9/8
137. Найдите
,
,
,
,
,
и
для случайного дискретного вектора
, распределенного по закону 

● Условные дискретные распределения
138. Дискретный случайный вектор
задан распределением
Найдите условное математическое ожидание
.

| -1
| 0
| -1
| 0
|
P
| 1/12:19/24=2/19
| 1/4:19/24=6/19
| 5/24:19/24=5/19
| 1/4:19/24=6/9
|

139. Дискретный случайный вектор
задан распределением
Найдите условное математическое ожидание
.
| 2
| 3
| 2
| 3
|
P
| 1/12:9/24=2/9
| 5/24:9/24=5/9
| 0:9/24=0
| 1/12:9/24=2/9
|

140. Дискретный случайный вектор
задан распределением
Найдите условное математическое ожидание
.
P(X+Y=5)=1/4+1/8=3/8
Y|X+Y=5
| 2
| 3
|
P
| 1/8:3/8=1/3
| ¼:3/8=2/3
|
M(Y|X+Y=5)=2*1/3+3*2/3=2+2/3
141. Дано:
. Найдите
.
Z=M(Y|X)
M(Y)=M(Z)=2*0.4+3*0.6=0.8+1.8=2.6
142. Дано:
. Найдите
.
M(XY)=M(X*M(Y|X))
M(XY)=20*0.4*3+80*0.6*1=24+48=72
143. Дано:
. Найдите
.
Cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)
M(X)=40*0.2+70*0.8=8+56=64
M(Y)=40*0.2*1+70*0.8*1=64
Cov(X;Y)=64-64=0
144. Дано:
и
Найдите
.
M(Z)=0.1*9+0.9*8=8.1
145. Дано:
. Найдите
.
Z=M(Y|X)
D(Z)=M(Z2)-(M(Z))2
M(Z)=0.6*2+0.4*2=2
M(Z2)=4*0.6+4*0.4=4
D(Z)=4-4=0
146. Дано:
и
Найдите