 |
Примеры 1-6 для самостоятельного решения.
|
|
|
|
Построить график, записать одним аналитическим выражением, найти изображение.
1)  ;
| 2)  ;
|
3)  ;
| 4)  .
|
Ответы:
1) 
;
2) 
3) 
Примеры 5-6. По графику записать оригинал, представить его одним аналитическим выражением, найти изображение.
5)
Решение:
Приведем к виду, удобному для применения свойства линейности и теоремы запаздывания, получаем
6)
Оригинал: 
Запишем оригинал одним аналитическим выражением, чтобы применить теорему запаздывания
Тогда
;
Примеры для самостоятельного решения.
По графику найти оригинал, представить его одним аналитическим выражением и найти изображение.
1) 2)
3) 4)
Ответы:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
Применение теорем о дифференцировании оригинала и изображения для нахождения изображений.
Теорема о дифференцировании оригинала.
Если 
, то 
, где 
Следствие. Если , то 
,
Пример1.
Найти изображение 
Решение.
Теорема о дифференцировании изображения.
Если , то 
.
Следствие. Если , то 
.
Пример 2. Найти изображение 
.
Решение:
Т. к. 
, то 
, т.е. 
, т.е. 
Так как 
, то 
.
Пример 3. Найти изображение 
.
Решение:
, т.е. 
.
Пример 4. Найти изображение 
.
Решение:
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему о дифференцировании оригинала
2. Сформулируйте теорему о дифференцировании изображения
Примеры 1-6 для самостоятельного решения.
Найти изображение с помощью теорем о дифференцировании оригинала и изображения.
1) 
, если 
;
2) 
, если 
;
3) 
; 4) 
; 5) 
;6) 
;
Ответы: 1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
; 5) 
; 6) 
.
Изображение интеграла от оригинала.
Теорема об интегрировании оригинала.
Если , то 
.
Примеры. Найти оригинал и изображение:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
;
Решение.
1) 
- по теореме об изображении интеграла.
 , тогда  .
| |
2) 
 , отсюда  .
| |
3)  ;
 , т.о.
 .
| |
| Вопросы для самопроверки 1.Сформулируйте теорему об интегрирования оригинала | |
Примеры для самостоятельного решения.
|
|
|
Найти изображения следующих интегралов
1)  ;
| 2)  ;
| 3)  ;
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6) 
|
Ответы:
1)  ;
| 2)  ;
| 3) 
|
4)  ;
| 5)  ;
| 6) 
|
Изображение периодического оригинала.
Теорема. Если 
-периодический оригинал с периодом 
, то его изображение определяется по формуле 
.
На практике же для нахождения изображения периодического оригинала вводят функцию 
, которую представляют в виде 
. Изображение этой функции обозначают 
и находят с помощью рассмотренных ранее методов, а изображение функции можно выразить по формуле 
.
Примеры
1)Найти изображение последовательности единичных прямоугольных импульсов длительности 
повторяющихся с периодом 
.
 |
, 
, 
2) Найти изображение “пилообразной” функции:
3) Найти изображение следующей периодической функции:
Решение.
, 
.
Вопросы для самопроверки
1. Сформулируйте теорему об изображении периодического оригинала
Примеры для самостоятельного решения.
Найти изображения следующих периодических функций:
| 1) | 2) |
 | |||
 |
| 3) | 4) |
| 5) | 6) |
 |  | ||
Ответы.1)
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 
.
Свертка. Изображение свертки.
Определение. Сверткой двух функций-оригиналов 
называется интеграл 
.
Свертки обладают следующими свойствами:
1. 
2. 
3. 
Теорема об изображении свертки.
Если 
и 
, то 
.
Примеры 1-6. Восстановить оригинал, используя определение свертки.
1) 
Решение.
;
2) 
Решение.
;
В следующих примерах для восстановления оригиналов будем использовать таблицу сверток, приведенную в конце пособия.
3) 
Решение.
.
По таблице сверток находим, что
4) 
Решение.
По таблице сверток находим, что это соответствует оригиналу 
.
5) 
Решение.
По таблице сверток находим, что эта свертка соответствует оригиналу
|
|
|
6) 
.
Решение.
, а это соответствует оригиналу 
Вопросы для самопроверки
1. Дайте определение свертки
2. Сформулируйте теорему об изображении свертки
Примеры для самостоятельного решения.
Восстановить оригиналы, используя свертку.
1)  ;
| 4)  ;
|
2)  ;
| 4) 
|
Ответы.
1)  ;
| 3)  ;
|
2)  ;
| 4)  ;
|
|
|
|
