 |
Восстановление оригиналов по изображению.
|
|
|
|
Заключительный шаг схемы применения операционного исчисления состоит в нахождении оригинала по полученному изображению, этот шаг или эту операцию называют обратным преобразованием Лапласа и символически записывают следующим образом: 
.
Раcсмотрим основные способы восстановления оригиналов по изображениям.
П.1 Восстановление оригиналов с помощью таблиц.
Этот способ является самым простым, но удобен в применении только, если изображение легко сводится к табличному виду элементарными преобразованиями.
Пример1. Найти оригинал изображения 
.
Решение.
Приведем 
к табличному виду
Пример 2. Найти оригинал изображения 
Решение.
Приведем к табличному виду
По таблице получаем, что 
.
Пример 3. Найти оригинал изображения 
Решение. Приведем к табличному виду: 
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригинал изображения.
1) ;
| 3) ;
|
2) ;
| 4) .
|
Ответы:
1)  ;
| 3)  ;
|
2)  ;
| 4)  .
|
П.2 Восстановление оригиналов с помощью свертки.
Этот вопрос подробно был рассмотрен в § 9, поэтому сразу перейдем к примерам.
Пример 1. Восстановить оригинал следующего изображения: 
.
Решение.
Преобразуем изображение к виду удобному для применения теоремы о свертке.
.
По таблице сверток находим, что оригинал для этого изображения имеет вид:
.
Пример 2. Восстановить оригинал следующего изображения: 
.
Решение.
Преобразуем изображение к виду удобному для применения теоремы о свертке:
.
По таблице сверток находим, что оригинал для этого изображения имеет вид: 
.
Примеры для самостоятельного решения можно взять из §7.
П.3 Нахождение оригиналов с помощью разложения дроби на сумму простейших.
Если изображение является правильной дробью, то методом неопределенных коэффициентов эту дробь можно представить в виде суммы простейших дробей I-IV типов так, как это делалось при интегрировании рациональных дробей. При этом дробь 1-го типа 
соответствуют оригиналу 
, дробь 2-го типа 
соответствует оригиналу 
, дробь 3-го типа сначала преобразовывается к виду:
|
|
|
, а затем по таблице определяется оригинал: 
.
Выполнив аналогичные преобразования для дробей 4-го типа, можно найти для них оригиналы или по таблицам, или с помощью свертки.
Пример 1. Найти оригинал следующего изображения: 
Решение.
Представим эту дробь в виде суммы простейших дробей:
.
Найдем A, B, C, D методом неопределенных коэффициентов.
2p²-4p+8=A(p-2)(p²+4)+B(p²+4)+(p-2)²(Cp+D)
При
p=2 8=8B, т.е. B=1
: 0=A+C
: 2=-2A+B+D-4C
: -4=4A+4C-4D D=1(A+C=0)
A=0, C=0
Получили, что F(p)= 
. 
Применяя теоремы линейности и затухания, находим оригинал: 
.
Пример 2.
Найти оригинал следующего изображения: 
Решение.
Представим в виде суммы простейших дробей:
,т.е.
.
Приравниваем коэффициенты при равных степенях:
: 14=9B+4D
: 0=9A+4C
1=B+D
0=A+C. Решая соответствующие системы, получаем, что
A=0; C=0; B=2; D=-1.
,т.е. 
.
При решении этих задач использовались теоремы единственности, линейности, затухания, таблица оригиналов и изображений.
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригинал изображения
1) ;
| 5) ;
|
2) ;
| 4) ;
|
3) ;
| 6) .
|
Ответы.
1)  ;
| 5)  ;
|
2)  ;
| 4)  ;
|
3)  ;
| 6)  .
|
П.4. Нахождение оригиналов с помощью теоремы запаздывания.
|
|
|
, где 
, то сначала надо найти оригинал от рациональной дроби, а затем применить теорему запаздывания.
Пример1. Найти оригинал следующего изображения: 
Найдем сначала оригинал для дроби 
.
Разложим эту дробь на простейшие и найдем коэффициенты методом неопределенных коэффициентов
При 
получим 
При 
получим 
При 
получим 
,
оригинал равен 
, а оригинал данного 
.
|
|
|
Примеры для самостоятельного решения.
Найти оригиналы следующих изображений:
1) 
; 2) 
; 3) 
;
4) 
Ответы:
|
|
|
