 |
Логическое осмысление континуума
|
|
|
|
Контрольная работа
По логике
Сущность логической системы
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
1 Логическое осмысление континуума
2. Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводы и погружения)
3 Алгебраизация логики
4 В поисках логической системы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Введение
Два традиционных направления развития логики остаются пока непоколебимыми. Это, с одной стороны, синтаксическое направление, проявившееся в наибольшей степени в фундаментальной работе Д. Габбая и получившее название “labelled” дедуктивные системы, а также непрекращающиеся попытки максимально обобщить генценовские исчисления. И в первом и во втором случае ставится цель единообразного охвата наибольшего числа различных логических систем и даже различных направлений в логике. С другой стороны, остается неизменной тенденция в выработке единого семантического основания для возможно большего разнообразия логических систем. На IX Международном конгрессе по логике, методологии и философии науки Г. фон Вригт констатировал: “С логикой случилось то, что она расплавилась в разнообразных исследованиях математики…”.
На самом деле это титанические усилия строгой науки представить в совершенно точных терминах понятие “логической системы” и удовлетворить требования компьютерных наук в вопросе о том, что такое дедуцирование? То, что с применением аппарата универсальной алгебры, с развитием теории категорий и с возрастающими потребностями в вычислениях и обработке информации представления о логических системах и о самой логике принимают всё более абстрактный характер, как раз говорит о непостижимой глубине данной науки, а может быть даже о некоторой тайне, скрываемой в недрах логического универсума.
|
|
|
Открытым остается главный вопрос: представляет ли собой логика как таковая некоторую единую конструкцию или это даже невозможно для систем искусственного интеллекта? Один из основных итогов современного развития логики как раз заключается в постановке этого вопроса.
Логическое осмысление континуума
Одновременно с оформлением классической логики, с построением на её основе грандиозного здания “Principia Mathematica” и с появлением первых метатеорем для двузначной пропозициональной логики (непротиворечивость, дедуктивная полнота, функциональная полнота), - наряду со всем этим проявляется тенденция к критике самих оснований классической логики. Это критика закона исключенного третьего Л. Брауэром и критика закона непротиворечия, начатая в 1910 г. Я. Лукасевичем и Н. А. Васильевым (см. [Васильев 1989]). В 1912 г. К. И. Льюис строит новую теорию логического следования взамен теории материальной (классической) импликации, изложенной в Principia Mathematica. Исходным мотивом Льюиса было избавиться от так называемых парадоксов материальной импликации. В результате вводится новая импликация, названная им “строгой”. Особо обратим внимание на серьезную критику Лукасевичем в начале 20-х годов принципа двузначности (бивалентности) в знаменитой статье “О детерминизме”. В итоге, соответственно, появляются интуиционистская логика Гейтинга, паранепротиворечивые логики, модальные логики Льюиса, трехзначная логика Лукасевича с её конечнозначные обобщения.
То, что эпоха бурного развития классической логики вплоть до великих ограничительных теорем К. Гёделя начала 30-х годов совпала с появлением и развитием различных неклассических направлений в логике, факт сам по себе примечательный. Но долгое время ему не придавали особого значения, поскольку классическая первопорядковая логика считалась и в основном считается и сейчас образцом математических рассуждений, а всё остальное от лукавого (и даже интуиционистская и конструктивная логики, представители которой бросили наиболее серьезный вызов классикам), пока У. Куайн не ввел термин “девиантная” логика, т.е. логика альтернативная к классической.
|
|
|
Применимость классической логики в строгих научных рассуждениях и особенно применимость ее в компьютерных науках оказались настолько плодотворными и впечатляющими, что ряд феноменов, проявившихся в логическом универсуме, вообще остался без внимания.
Во-первых, это множественность логик. Сначала появление различных классов конечнозначных логик и пяти льюисовских модальных систем S1 - S5 не навело на особые размышления. Но тогда же К.Гёдель заметил, что существует счётное число логик между интуиционистской логикой H и классической C2, которые впоследствии получили название суперинтуиционистских логик (si-логики). А это уже было событием в логическом мире. Исходя из этого факта Т. Умезава в 1955 г. начинает изучение целых классов логик. Параллельно С. Скрогс описывает нормальные расширения модальной логики Льюиса S5, а М. Дамметт и Е. Леммон рассмотрели логики между S4 и S5 и перевод si-логик в них.
Появляются всё новые логики, каждая из которых представляет особый интерес, например, цепная логика Дамметта LC или модальная логика Гжегорчика Grz. В середине 60-х годов в результате критики “парадоксов” строгой импликации Льюиса (т. е. истина следует из чего угодно и из лжи следует всё, что угодно) оформляется релевантное направление в логике во главе с системой R; добавление к R “безобидной” аксиомы приводит к логике RM с весьма необычными свойствами.
Анализируя объекты (логики) той же самой природы, например из класса si-логик, мы надеемся изучить и понять саму природу данного феномена и подняться на новый уровень знания. Поэтому открываются различные способы конструирования новых логик из данного класса с заданными свойствами. Так, Т.Хосои вводит понятие “слоя” для классификации si-логик. В течение долгого времени оставалась надежда найти полное описание решетки модальных и si-логик - тогда можно было бы “обозреть” любую логику и даже, может быть, представить их в виде исчисления.
|
|
|
В итоге, критика “основных” законов и принципов классической логики привела к феномену логической континуальности, выраженному как в континуальности самих классов логических систем, так и в наличии континуальности замкнутых классов логических функций. Отсюда возникает вопрос, является ли логическое мышление человека дискретным или континуальным? Ответ на этот вопрос также зависит от того, что мы понимаем под логикой или логической системой. И в рамках одной ли логической системы мыслит человек?
|
|
|
