Расширение классической логики как следствие ее ограничения (переводы и погружения)

Если изучение функциональных свойств (замкнутые классы, полнота, предполнота, базисы и т.д.) является прерогативой специалистов в области дискретной математики, инженеров, программистов, физиков, то изучение логики как объекта в виде исчисления относится к сфере “чистой” логики.

Указанная в предыдущем разделе критика законов и основ классической логики носила бескомпромиссный характер в своей тенденции ограничить сферу последней, но никто из перечисленных авторов не мог даже предположить, что на самом деле неявным образом происходит процесс расширения средств и аппарата классической логики C₂. Из результата В. Гливенко о погружении C₂ в H следует, что интуиционистская логика даже “богаче” C₂. Более того, Гёдель показал, что классические законы, включающие только отрицание, конъюнкцию и квантор всеобщности, являются интуиционистскими законами. Поскольку импликация, дизъюнкция и квантор существования определяются через указанные “интуиционистские” логические связки, то можно строго утверждать, что классическая логика предикатов есть подсистема интуиционистской, а значит, вторая есть расширение первой. Гёделем был также предложен метод аксиоматизации льюисовских модальных систем как расширение C₂. Оказалось, что n-значные логики (в том числе и предикатные) аксиоматизируются подобным образом. Одним из самых первых примеров в этой области является аксиоматизация в 1971 г. трехзначной логики бессмысленности Д. А. Бочвара B₃, которая по своим функциональным свойствам слабее Ł₃, в то время как Ł₃ не является функционально полной. Уже в 1938 г. Д. А. Бочвар при построении B₃ выделяет её трехзначный фрагмент, изоморфный C₂, т. е. этот фрагмент верифицирует всю классическую пропозициональную логику. Уже отсюда следует, что B₃ можно строить на основе C₂. Отметим также, что и релевантная логика R может быть построена на основе C₂ (отрицание де Моргана заменяется на булево отрицание).

Погружение или перевод одной логической системы в другую (первым примером которого является теорема Гливенко) к концу нашего века становится темой тщательного исследования. Самое общее понятие перевода состоит в следующем: cистема S переводима в S', если существует функция (возможно, но не необходимо отображение) между двумя универсумами рассуждений, которая сохраняет (по крайней мере, в одну сторону) отношение дедуцируемости.

Исследование переводов логических систем обеспечивает: новые семантики для неклассических логик, сводит метаматематические и металогические свойства одной системы к другой, чтобы получить нужные результаты, позволяет точно выявить смысл дуальности между логиками (в первую очередь это относится к интуиционистской логике), проясняет и выявляет взаимоотношения между совершенно различными логическими системами.

Алгебраизация логики

Одновременно с традицией развития логики как дедуктивной системы, идущей от Фреге, Уайтхеда и Рассела, развивался совершенно другой подход к логике, наиболее полно выраженный Э. Шрёдером в его трехтомных “Лекциях по алгебре логики” (1890-1905). В третьем томе развивается исчисление отношений и вводятся кванторы, но нигде нет понятия формального доказательства. Предшественники Шрёдера Дж. Буль, В. Джевонс и Ч.С. Пирс, впервые применили алгебраические методы к логике. Отсюда и сам термин “алгебра логики”.

Первоначально алгебра логики имела своим предметом классы (как объемы понятий), соотношения между ними по объему и связанные с этим операции над ними. Поэтому исследования в области теории множеств сыграли существенную роль в становлении алгебры логики. Впоследствии основным предметом алгебры логики стало изучение свойств логических операций над множеством высказываний, рассматриваемых лишь со стороны их логических значений: исследуются равносильности между формулами, приведение к нормальным формам, минимизация формул и т.д.

Постепенно были выделены основные свойства (классических) логических операций в виде некоторого количества тождеств (равносильностей). В совокупности эти тождества образовали конструкцию под названием “булева алгебра”. Изящной аксиоматизацией класса булевых алгебр являются пары тождеств из раздела 5: (II), (III), (IV), (V) и (B1), (B2). Одно из тождеств (V) выводимо. Таким образом, булева алгебра есть результат алгебраической формализации классической логики высказываний.

Несмотря на простоту формулировки булевы алгебры исключительно богаты по своему содержанию и давно превратились в самостоятельный раздел абстрактной алгебры. Они нашли самое широкое применение в логико-математических исследованиях, в области инженерии контактно-релейных схем, компьютерных наук, аксиоматической теории множеств, теории моделей и в других областях науки и математики.

Результатом алгебраической формализации логики предикатов явились “цилиндрические алгебры”, введенные в 1961 г. Л. Хенкиным и А. Тарским.

В алгебраизации логики особую роль сыграла оригинальная идея А. Линденбаума (1926/27), который предложил рассматривать формализованный пропозициональный язык как универсальную алгебру с операциями, соответствующими логическим связкам этого же языка. Но самое главное, затем строится логическая матрица из формул и логических связок, которые составляют само логическое исчисление. Полное признание этот метод получил в 40-е годы в терминологии “алгебры Линденбаума”, или “алгебры Линденбаума–Тарского”.

Постепенно алгебраизация логики привела к появлению нового термина “алгебраическая логика”, который стал названием монографии П. Халмоша, где методы и аппарат универсальной алгебры стали систематически применяться к изучению логики. В следующем году выходит “Математика метаматематики”, а затем книга Расёвой, ставшая классической, в которой алгебраические методы применяются к неклассическим логикам. Имеется обзор результатов по алгебраической логике.