Метод множителей Лагранжа
Метод множителей Лагранжа является классическим методом решения задач математического программирования (в частности выпуклого). Рассмотрим классическую задачу оптимизации при ограничениях
От основной задачи выпуклого программирования в данной постановке задача отличается тем, что в системе ограничений нет неравенств и нет ограничения неотрицательности для переменных. Классический подход к решению данной задачи дает систему уравнений (необходимые условия), которым должна удовлетворять точка Предположим, что в точке равен m. Тогда необходимые условия запишутся в виде:
где есть функция Лагранжа, Алгоритм решения задачи методом множителей Лагранжа: 1. Составить функцию Лагранжа. 2. Найти частные производные функции Лагранжа по всем переменным 3. Из стационарных точек, взятых без Пример: Решить задачу математического программирования, используя метод множителей Лагранжа. при
Решение: Будем решать задачу без учета неотрицательности переменных. 1. Составим функцию Лагранжа. 2. Найдем ее частные производные по Приравняв производные к нулю, получим систему:
Решим ее:
Получена стационарная точка (91, 89). С помощью вторых производных легко доказать, что в полученной точке функция достигает условный локальный экстремум. Данная точка является точкой минимума функции. Ответ: Z=17278.
Градиентные методы
Градиентным методом можно решать любую нелинейную задачу. При этом находится локальный экстремум. Целесообразнее же этот метод используют при решении задач выпуклого программирования. Будем рассматривать задачу максимизации нелинейной дифференцируемой функции Возьмем произвольную точку Поисковая траектория представляет собой ломаную Градиентные методы, как правило, позволяют найти точные решения за бесконечное число шагов и лишь в некоторых случаях за конечное. В связи с этим градиентные методы относят к приближенным методам решения.
Блок 4
Читайте также: Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|