 |
Метод наименьших квадратов.
|
|
|
|
Например, имеем 8 пар измерений из предыдущих примеров (см. табл.2).
Х: 1,5; 4,0; 5,0; 7,0; 8,5; 10,0; 11,0; 12,5.
Y:5,0; 4,5; 7,0; 6,5; 9,5; 9,0; 11,0; 9,0.
1. Определяем расчетные значения и заполняем таблицу 2:
= 1,5+4,0+5,0+7,0+8,5+10,0+11,0+12,5 = 59,5;
= 5,0+4,5+7,0+6,5+9,5+9,0+11,0+9,0 = 61,5;
= 2,25+16,0+25,0+49,0+72,25+100,0+121,0+156,25 = 541,75;
= 25,0+20,25+49,0+42,25+90,25+81,0+121,0+81,0 = 509,75;
= 7,5+18,0+35,0+45,5+80,75+90,0+121,0+112,5 = 510,25;
=42,25+72,25+144,0+182,25+324,0+361,0+484,0+
+462,25 = 2072,0.
2. Определяем центр массива экспериментальных данных (опорную точку) средние значения
= /n = 59,5/8 = 7,44 и 
= / n = 61,5/8 = 7,69.
3. Проверяем правильность вычислений
.
2072,0 = 541,75+2×510,25+509,75 =2072,0.
3. 5,0 = b0 + 5,0 b1 ; 7. 11,0 = b0 + 11,0 b1 ;
4. 7,0 = b0 + 6,5 b1 ; 8. 12,5 = b0 + 9,0 b1 .
2. Суммируем результаты в каждом столбце, получаем разность значений от этих двух сумм и рассчитываем угловой коэффициент уравнения обратной регрессии b1(ху)
17,5 = 4,0 b0 + 23,0 b1 ; 42,0 = 4,0b0 + 38,5b1 ;
17,5 = 4,0 b0 + 23,0 b1 ;
24 ,5 = 15,5 b1 .
b1(ху) = 24,5/15,5 = 1,58; проверка 1,0/0,633 = 1,58.
6. Складываем результатысумм двух столбцов, получаемуравнениев которое подставляем b1(yх) = 1,58 и рассчитываем
b0 (ух)
59,5 = 8,0 b0 +61,5х1,58. 8,0 b0 = 59,5 - 61,5х1,58 = - 37,67;
b0 (ух) = - 37,67/8 = - 4,71;
7. Определяем расчетные значения Хр, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔX, а также квадраты этих отклонений ΔX² и сводим их в таблицу 2:
Xр = - 4,71 + 1,58У.
X1р = - 4,71 + 1,58×5,0 = 3,19;
X1 = 1,5 – 3,19 = - 1,69; X12 = 2,3856;
X2р = - 4,71 + 1,58×4,5 = 2,40;
-..- -..- -..- -..- -..- -..-
X8р = - 4,71 + 1,58×9,0 = 9,51.
8. Наносим линии прямой и обратной регрессии на рис.1 и обозначаем коэффициенты уравнений.
Продолжение табл.2.
МЕТОД СРЕДНИХ: 
| |||||||||
| yp | 3,93 | 5,5 | 6,13 | 7,39 | 8,34 | 9,28 | 9,91 | 10,86 | |
| Δy | 1,07 | -1,0 | 0,87 | -0,89 | 1,16 | -0,28 | 1,09 | -1,86 | ~0,0 |
| Δy² | 1,1449 | 1,00 | 0,7569 | 0,7921 | 1,3456 | 0,0784 | 1,1881 | 3,4596 | 9,7656 |
| xp | 3,19 | 2,4 | 6,35 | 5,56 | 10,3 | 9,51 | 12,67 | 9,51 | |
| Δx | -1,69 | 1,6 | -1,35 | 1,44 | -1,8 | 0,49 | -1,67 | 2,99 | ≈0,0 |
| Δx² | 2,8561 | 2,56 | 1,8225 | 2,0736 | 3,24 | 0,2401 | 2,7889 | 8,9401 | 24,52 |
МНК: 
| |||||||||
| x² | 2,25 | 16,0 | 25,0 | 49,0 | 72,25 | 100,0 | 121,0 | 156,25 | 541,75 |
| y² | 25,0 | 20,25 | 49,0 | 42,25 | 90,25 | 81,0 | 121,0 | 81,0 | 509,75 |
| xy | 7,5 | 18,0 | 35,0 | 45,5 | 80,75 | 90,0 | 121,0 | 112,5 | 510,25 |
| (x+y) | 6,5 | 8,5 | 12,0 | 13,5 | 18,0 | 19,0 | 22,0 | 21,5 | 121,0 |
| (x+y) ² | 42,25 | 72,25 | 144,0 | 182,25 | 324,0 | 361,0 | 484,0 | 462,25 | 2072,0 |
| yp | 4,53 | 5,85 | 6,38 | 7,44 | 8,24 | 9,03 | 9,56 | 10,35 | |
| Δy | 0,47 | -1,35 | 0,62 | -0,94 | 1,26 | -0,03 | 1,44 | -1,35 | ~0,0 |
| Δy² | 0,2209 | 1,8225 | 0,3844 | 0,8836 | 1,5876 | 0,0009 | 2,0736 | 1,8225 | 8,80 |
| xp | 3,6 | 2,855 | 6,46 | 5,745 | 10,035 | 9,32 | 12,18 | 9,32 | |
| Δx | -2,1 | 1,115 | -1,46 | 1,255 | -1,535 | 0,68 | -1,18 | 3,18 | ~0,0 |
| Δx² | 4,41 | 1,2432 | 2,1316 | 1,5750 | 2,3562 | 0,4624 | 1,3924 | 10,1124 | 23,68 |
ОРТОГОНАЛЬНАЯ РЕГРЕССИЯ: 
| |||||||||
| yp | 4,055 | 5,58 | 6,19 | 7,41 | 8,325 | 9,24 | 9,85 | 10,765 | |
| Δy | 0,945 | -1,08 | 0,81 | -0,91 | 1,175 | -0,24 | 1,15 | -1,765 | ~0,0 |
| Δy² | 0,8930 | 1,1664 | 0,6561 | 0,8281 | 1,3806 | 0,0576 | 1,3225 | 3,1152 | 9,42 |
| xp | 3,06 | 2,24 | 6,34 | 5,52 | 10,44 | 9,62 | 12,9 | 9,62 | |
| Δx | -1,56 | 1,76 | -1,34 | 1,48 | -1,94 | 0,38 | -1,9 | 2,88 | ~0,0 |
| Δx² | 2,4336 | 3,0976 | 1,7956 | 2,1904 | 3,7636 | 0,1444 | 3,61 | 8,2944 | 25,33 |
| Δh | 0,808 | -0,92 | 0,693 | -0,775 | 1,005 | -0,203 | 0,984 | -1,505 | ~0 |
| Δh² | 0,653 | 0,847 | 0,4805 | 0,600 | 1,010 | 0,0412 | 0,968 | 2,2647 | 6,86 |
|
|
|
Поскольку данный метод не является точным, то нецелесообразно полностью полагаться только на него.
Метод средних
Этот метод применяется для построения эмпирических зависимостей парного простейшего вида. Метод состоит в том, что параметры эмпирической формулы определяются из условия равенства нулю суммы всех отклонений наблюдаемой величины от среднего значения.
Вначале результаты наблюдений выравниваются (спрямляются, в контрольной работе данные уже линеаризированы), а затем для полученных новых переменных Х и У, связанных линейной зависимостью Ур = b0(yх) + b1(yх) Х, находят коэффициенты b0(yх) и b1(yх).
Для этого подставляют в уравнение полученные значения Х и У попарно, полученные равенства (условные уравнения) разбивают на две примерно равные группы. Группировка условных уравнений возможна несколькими способами, лучшим будет тот, который приводит к решению, дающему наименьшую сумму квадратов отклонений. Обычно уравнения группируют в последовательности опытных данных, разбивая их на равные или приблизительно равные части. Вообще равенства разбивают на столько групп, сколько коэффициентов уравнения предстоит определить.
|
|
|
Каждую группу уравнений почленно складывают. Получают систему из двух уравнений, из которых и находят коэффициенты, а затем переходят к натуральным переменным.
Например, имеем 8 пар измерений из предыдущего примера (см. табл.2).
Х: 1,5; 4,0; 5,0; 7,0; 8,5; 10,0; 11,0; 12,5.
Y:5,0; 4,5; 7,0; 6,5; 9,5; 9,0; 11,0; 9,0.
1. Составляем систему уравнений из двух групп для уравненияпрямой регрессия Y = b0 (ух)+ b1 (ух)X.
1. 5,0 = b0 +1,5 b1 ; 5. 9,5 = b0 + 8,5 b1 ;
2. 4,5 = b0 + 4,0 b1 ; 6. 9,0 = b0 + 10,0 b1 ;
3. 7,0 = b0 + 5,0 b1 ; 7. 11,0 = b0 + 11,0 b1 ;
4. 6,5 = b0 + 7,0 b1 ; 8. 9,0 = b0 + 12,5 b1 .
2. Суммируем результаты в каждом столбце, получаем разность значений от этих двух сумм и рассчитываем угловой коэффициент уравнения прямой регрессии b1(yх)
23,0 = 4,0 b0 + 17,5 b1 ; 38,5 = 4,0 b0 + 42,0b1 ;
23,0 = 4,0 b0 + 17,5 b1 ;
15,5 = 24,5 b1(yх) ;
b1(yх) = 15,5/24,5 = 0,633;
3. Складываем результатысумм двух столбцов, получаемуравнениев которое подставляем b1(yх) = 0,633 и рассчитываем b0 (ух)
61,5 = 8,0 b0 + 59,5х0,633; 8,0 b0 = 61,5 – 37,66 = 23,84;
b0 (ух) = 23,84/8 = 2,98;
4. Определяем расчетные значения YP, абсолютные отклонения экспериментальных значений от расчетных ΔY, а также квадраты этих отклонений ΔY² и сводим их в таблицу 2:
Ур = 2,98 + 0,63 X.
У1р = 2,98 + 0,63 × 1,5 = 3,93;
Y1 = У1 эк - У1 р = 5,0 – 3,93 = 1,07; Y12 = 1,1449;
У2р = 2,98 + 0,63 х 4,0 = 5,50;
-..- -..- -..- -..- -..- -..-
У8 = 2,98 + 0,63 х 12,5 = 10,86.
5. Составляем систему уравнений из двух групп для уравненияобратной регрессия X = b0 (ху) + b1 (ху) У
1. 1,5 = b0 + 5,0 b1 ; 5. 8,5 = b0 + 9,5 b1 ;
2. 4,0 = b0 +4,5 b1 ; 6. 10,0 = b0 + 9,0 b1 ;
|
|
|
