 |
Статистическое распределение выборки. Эмпирическая функция распределения
|
|
|
|
Пусть изучается некоторая случайная величина X. С этой целью над случайной величиной X производится ряд независимых опытов (наблюдений). В каждом из этих опытов величина X принимает то или иное значение.
Пусть она приняла n 1 раз значение х 1, n 2 раз - значение x 2,..., nk раз - значение xk При этом 
- объем выборки. Значения 
называются вариантами случайной величины X.
Вся совокупность значений случайной величины X представляет собой первичный статистический материал, который подлежит дальнейшей обработке, прежде всего - упорядочению.
Операция расположения значений случайной величины (признака) по неубыванию называется ранжированием статистических данных. Полученная таким образом последовательность 
значений случайной величины X (где 
и 
) называется вариационным рядом.
Числа 
, показывающие, сколько раз встречаются варианты 
в ряде наблюдений, называются частотами, а отношение их к объему выборки - частостями или относительными частотами 
, т.е.
 ,
| (8.1) |
где 
.
Перечень вариантов и соответствующих им частот или частостей называется статистическим распределением выборки или статистическим рядом.
Записывается статистическое распределение в виде таблицы. Первая строка содержит варианты, а вторая - их частоты (или частости 
).
Статистическое распределение выборки является оценкой неизвестного распределения. В соответствии с теоремой Бернулли относительные частоты 
сходятся при 
к соответствующим вероятностям 
, т.е. 
. Поэтому при больших значениях n статистическое распределение мало отличается от истинного распределения.
В случае, когда число значений признака (случайной величины X) велико или признак является непрерывным (т.е. когда случайная величина X может принять любое значение в некотором интервале), составляют интервальный статистический ряд.
|
|
|
В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки 
, которые берут обычно одинаковыми по длине: 
. Для определения величины интервала (h) можно использовать формулу Стерджеса:
,
где 
- разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, 
- число интервалов 
. За начало первого интервала рекомендуется брать величину 
.
Во второй строчке статистического ряда вписывают количество наблюдений , (
), попавших в каждый интервал.
Одним из способов обработки вариационного ряда является построение эмпирической функции распределения.
Эмпирической (статистической) функцией распределения называется функция 
, определяющая для каждого значения х частость события 
:
 .
| (8.2) |
Для нахождения значений эмпирической функции удобно записать в виде
где n - объем выборки, 
- число наблюдений, меньших x (x ÎR).
Очевидно, что удовлетворяет тем же условиям, что и истинная функция распределения 
.
При увеличении числа n наблюдений (опытов) относительная частота события приближается к вероятности этого события (теорема Бернулли). Эмпирическая функция распределения является оценкой вероятности события , т.е. оценкой теоретической функции распределения случайной величины X.
Теорема 8.1 (Гливенко). Пусть - теоретическая функция распределения случайной величины X, a - эмпирическая. Тогда для любого 
 .
| (8.3) |
Пример 8.1. В результате тестирования группа абитуриентов набрала баллы: 5, 3, 0, 1, 4, 2, 5, 4, 1, 5. Записать полученную выборку в виде: а) вариационного ряда; б) статистического ряда.
Решение:
а) Проранжировав статистические данные (т.е. исходный ряд), получим вариационный ряд 
:
(0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5).
б) Подсчитав частоту и частость вариантов 
, 
, 
, 
, 
, 
, получим статистическое распределение выборки (так называемый дискретный статистический ряд)
|
|
|
|
| ||||||
|
|
или
|
| ||||||
| 
| 
|
|
|
| 
|
Пример 8.2. Построить функцию 
используя условия и результаты задачи 8.1.
Решение:
Здесь 
. Имеем 
при 
(наблюдений меньше 0 нет). При 
при 
(здесь 
) и т.д. Окончательно получаем:
График эмпирической функции распределения приведен на рис. 8.1.
Рис.8.1.
|
|
|
