Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Системы случайных величин

Двумерные случайные величины

Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения

При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин. Так, точка попадания снаряда характеризуется системой двух случайных величин: абсциссой X и ординатой Y; успеваемость наудачу взятого абитуриента характеризуется системой n случайных величин - оценками, проставленными в его аттестате зрелости.

Упорядоченный набор случайных величин , заданных на одном и том же ПЭС Ω, называется n-мерной случайной величиной или системой n случайных величин.

Одномерные случайные величины называются компонентами или составляющими n- мерной случайной величины . Их удобно рассматривать как координаты случайной точки или случайного вектора в пространстве n измерений.

На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрением системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент.

Упорядоченная пара двух случайных величин Х и Y называется двумерной случайной величиной или системой двух одномерных случайных величин X и Y.

Систему можно изобразить случайной точкой или случайным вектором ОМ (рис.6.1).

Система есть функция элементарного события: . Каждому элементарному событию ставится в соответствие два действительных числа х и у (или х ₁ и x ₂) - значения X и Y (или и ) в данном опыте. В этом случае вектор называется реализацией случайного вектора .

Рис. 6.1.

Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором - непрерывны, в третьем - разных типов.

Полной характеристикой системы является ее закон распределения вероятностей, указывающий область возможных значений системы случайных величин и вероятности этих значений. Как и для отдельных случайных величин закон распределения системы может иметь разные формы (таблица, функция распределения, плотность,...).

Так, закон распределения дискретной двумерной случайной величины можно задать формулой

(6.1)

или в форме таблицы с двойным входом:

				…
				…
				…
…	…	…	…	…	…
				…

Причем, сумма всех вероятностей , как сумма вероятностей полной группы несовместных событий , равна единице:

Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из компонент (обратное неверно). Так, , что следует из теоремы сложения несовместных событий .

Аналогично можно найти

Пример 6.1. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу извлекают два шара. Пусть случайная величина Х – число черных шаров в выборке, случайная величина Y – число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы . Найти законы распределения X и Y.

Решение:

Случайная величина Х может принимать значения 0, 1; случайная величина Y - значения 0, 1.

Вычислим вероятности

или ,

Таблица распределения системы имеет вид:

Отсюда следует:

Законы распределения составляющих X и Y имеют вид:

Х						Y
р						р

Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства

Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая или просто .

Функцией распределения двумерной случайной величины называется функция , которая для любых действительных чисел х и у равна вероятности совместного выполнения двух событий и .

Таким образом, по определению

(6.2)

событие означает произведение событий и .

Геометрически функция интерпретируется как вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрант с вершиной в точке , лежащий левее и ниже ее (рис. 6.2).

Рис. 6.2.

Функция распределения двумерной дискретной случайной величины находится суммированием всех вероятностей , для которых , т.е.

(6.3)

Геометрическая интерпретация функции распределения позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства.

Свойства функции распределения двумерной случайной величины:

1. Функция распределения ограничена, т.е.

2. не убывает по каждому из своих аргументов при фиксированном другом, т.е.

при

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция распределения равна нулю, т.е.

4. Если оба аргумента обращаются в , то равна 1, т.е.

5. Если один из аргументов обращается в , то функция распределения системы случайных величин становится функцией распределения случайной величины, соответствующей другому элементу, т.е.

(6.4)

6. непрерывна слева по каждому из своих аргументов, т.е.

Зная совместное распределение двух случайных величин X и Y, можно найти одномерные распределения этих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно.

Отметим, что с геометрической точки зрения есть некоторая поверхность (ступенчатая для двумерной дискретной случайной величины), обладающая указанными свойствами.

С помощью функции легко можно найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник D со сторонами, параллельными координатным осям: