Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства
Стр 1 из 3Следующая ⇒ Системы случайных величин Двумерные случайные величины Понятие о системе случайных величин и законе ее распределения
При изучении случайных явлений часто приходится иметь дело с двумя, тремя и большим числом случайных величин. Совместное рассмотрение нескольких случайных величин приводит к системам случайных величин. Так, точка попадания снаряда характеризуется системой Упорядоченный набор Одномерные случайные величины На многомерные случайные величины распространяются почти без изменений основные понятия и определения, относящиеся к одномерным случайным величинам. Ограничимся для простоты рассмотрением системы двух случайных величин; основные понятия обобщаются на случай большего числа компонент. Упорядоченная пара Систему Система
Рис. 6.1. Системы случайных величин могут быть дискретными, непрерывными и смешанными в зависимости от типа случайных величин, образующих систему. В первом случае компоненты этих случайных систем дискретны, во втором - непрерывны, в третьем - разных типов. Полной характеристикой системы Так, закон распределения дискретной двумерной случайной величины
или в форме таблицы с двойным входом:
Причем, сумма всех вероятностей
Зная закон распределения дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из компонент (обратное неверно). Так, Аналогично можно найти
Пример 6.1. В урне 4 шара: 2 белых, 1 черный, 1 синий. Из нее наудачу извлекают два шара. Пусть случайная величина Х – число черных шаров в выборке, случайная величина Y – число синих шаров в выборке. Составить закон распределения для системы Решение: Случайная величина Х может принимать значения 0, 1; случайная величина Y - значения 0, 1. Вычислим вероятности
Таблица распределения системы
Отсюда следует:
Законы распределения составляющих X и Y имеют вид:
Функция распределения двумерной случайной величины и ее свойства
Универсальной формой задания распределения двумерной случайной величины является функция распределения (или «интегральная функция»), пригодная как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины, обозначаемая Функцией распределения двумерной случайной величины Таким образом, по определению
событие Геометрически функция Рис. 6.2. Функция распределения двумерной дискретной случайной величины
Геометрическая интерпретация функции распределения позволяет наглядно иллюстрировать ее свойства. Свойства функции распределения двумерной случайной величины:
1. Функция распределения 2.
3. Если хотя бы один из аргументов обращается в 4. Если оба аргумента обращаются в
5. Если один из аргументов обращается в
6.
Зная совместное распределение двух случайных величин X и Y, можно найти одномерные распределения этих случайных величин, но обратное, вообще говоря, неверно. Отметим, что с геометрической точки зрения С помощью функции
Приведем геометрическое доказательство (рис. 6.3) Рис. 6.3. Здесь
Пример 6.2. По таблицам распределения системы Решение: Используя формулу (6.4), находим функцию распределения
Используя формулу (6.3.), находим функцию распределения
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|