 |
Анализ результатов расчета
|
|
|
|
Контрольная работа
по дисциплине “Динамика сооружений”
Определение прогибов железобетонной балки и усилий в её сечениях при установившихся гармонических колебаниях
(шифр задания 3305)
Выполнил:
студент гр. 5015/10
Смирнов Д. В.
Преподаватель:
Константинов И. А.
С.-Петербург
2008 г.
Постановка задачи
Дана железобетонная балка (рис. 1) со следующими параметрами: длина балки 
; размеры прямоугольного поперечного сечения 
; железобетон класса В25 (объемный вес 
; модуль упругости 
).
В соответствии с заданными параметрами объем 
материала балки, площадь 
её поперечного сечения, полная масса 
и её полный вес 
составляют соответственно величины: 
; 
; 
; 
.
По середине пролета балки расположен электродвигатель (он воздействует на балку силой 
; сила веса ротора 
; частота вращения ротора 
).
На расчетной схеме балки для статического расчета ее вес представлен в виде равномерно распределенной нагрузки, а вес электромотора в виде сосредоточенной силы (см. рис. 1, а).
Расчетная схема для динамического расчета балки представляется в виде системы с одной степенью свободы. Такая расчетная схема получится (рис.1, б), если представить балку как систему двух элементов (тип 2 в программе SCAD) с узлами на опорах и по середине балки и заменить равномерно распределенную массу элементов двумя равными массами по концам элементов.
За возмущающую динамическую нагрузку, вызывающую поперечные колебания балки, в примере принята вертикальная составляющая центробежной силы (см. рис. 1, б), вызванной вращающимся ротором, имеющим эксцентриситет 
между центром массы ротора и его геометрической осью.
Возмущающее гармоническое воздействие представляется в виде 
, где 
– амплитуда центробежной силы (рис. 2); 
– масса ротора; 
– ускорение свободного падения.
|
|
|
Требуется определить максимальный прогиб балки и максимальный изгибающий момент в ее среднем сечении:
· от статической нагрузки в виде собственного веса балки и электромотора;
· от динамической нагрузки в виде 
при установившихся гармонических колебаниях;
· от суммарного воздействия обеих нагрузок
Статический и динамический расчет выполнить вручную и с помощью программы SCAD.
Выполнение задания при использовании для динамического расчета балки системы с одной степенью свободы
Расчет на ПК с использованием программы SCAD
Составляем расчетную схему балки для статического расчета и динамического расчета как системы с одной степенью свободы
С этой целью изобразим балку как систему двух элементов типа 2 (по классификации в программе SCAD) с узлами на опорах и в месте расположения двигателя (рис. 4).
Рис. 4
На приведенной схеме показаны статические нагрузки от собственного веса балки и собственного веса двигателя и вертикальная составляющая динамической нагрузки, вызванной вращением ротора двигателя.
Так как мы рассматриваем эту систему как линейно деформируемую, то воспользуемся принципом независимости действия сил и определим прогибы балки и усилия в её сечениях отдельно от каждой нагрузки.
------------------------------------------------------------------------------------------
| Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Е В Е С О В М А С С |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 2 3 |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 3 - (гарм-1) |
|
|
|
| Z 3.67 |
------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------
|Загpу: N: COБCTB.: Ч A C T O T Ы : ПEPИOДЫ |
|: П/П: :-----------------------------:---------------|
|жение:: ЗHAЧEHИЯ: 1/C: ГЦ: C |
------------------------------------------------------------------------
| 3 1.0093448 107.0104 17.03988 .0586858 |
------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------
| Ф О Р М Ы К О Л Е Б А Н И Й |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 2 3 |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z 1. |
------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------
| И Н Е Р Ц И О Н Н Ы Е Н А Г Р У З К И |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 2 3 |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z .988 |
| 3 - 2 |
| Z -.1356 |
Анализ результатов расчета
Прежде всего, отметим, что структура таблиц и их названия предназначены для систем с несколькими степенями свободы, что объясняет использование множественного числа в их названиях. В рассматриваемом примере имеем систему с одной степенью свободы.
|
|
|
Введенные результаты в первой и второй таблицах понятны: в первой – показано, что в узле 2 составленной расчетной схемы МКЭ находится сосредоточенная масса весом 3.67 тс; во второй – приведены результаты определения собственной круговой частоты ω, частоты f и периода T.
В третьей таблице для каждой собственной формы колебаний (СФК) отражаются относительные перемещения масс расчетной схемы по направлению их степеней свободы. При этом наибольшее перемещение в СФК принято равным единице. В рассматриваемом примере для системы с одной степенью свободы имеется только одна форма колебаний с одной ординатой, равной единице.
В четвертой таблице приведены амплитуды составляющих S1 и S2 суммарной силы S. Полная амплитуда So суммарной силы получается по формуле:
Аналогично, из таблиц для перемещений и для усилий в узле 2 загружения 3 соответственно получаем составляющие перемещения узла 3 расчетной схемы (см. рис. 1) и момента в этом сечении и максимальные значения этих величин:
| П Е Р Е М Е Щ Е Н И Я У З Л О В |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 2 3 |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| Z -.62551 |
| 2 - (Вес двиг.) |
| Z -.357142 |
| 3 - 1 (гарм-1) |
| Z -.230647 |
| 3 - 2 |
|
|
|
| Z .031663 |
------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------------------------------------------------------------------------
| У С И Л И Я /НАПРЯЖЕНИЯ/ В ЭЛЕМЕНТАХ |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 2_ 1-1 1-2 1-3 2-1 2-2 2-3 |
| 1 1 1 2 2 2 |
| 2 2 2 3 3 3 |
------------------------------------------------------------------------------------------
| 1 - (СВ) |
| M 2.81367 3.75156 3.75156 2.81367 |
| 2 - (Вес двиг.) |
| M 1.33875 2.6775 2.6775 1.33875 |
| 3 - 1 (гарм-1) |
| M .864582 1.72916 1.72916.864582 |
| 3 - 2 |
| M -.118689 -.237378 -.237378 -.118689 |
| 3 - S1 |
| M .872691 1.74538 1.74538.872691 |
------------------------------------------------------------------------------------------
Контроль результатов расчетов на ПК с использованием известных формул для систем с одной степенью свободы
1. Определяем собственную частоту системы с одной степенью свободы
1/с.
Здесь 
- вес массы, сосредоточенной в узле 2.
2. Вычисляем динамический коэффициент 
для двух вариантов решения задачи об установившихся колебаниях балки.
Вариант 1 
:
Вариант 2 
:
3. Вычисляем амплитуды искомых величин.
Амплитуда установившихся колебаний 
:
Величина 
здесь получена пересчетом по прогибу 
, подсчитанному выше от действия силы веса двигателя 
.
Амплитуда суммарной силы для варианта 1: 
тс.
Амплитуда изгибающего момента в среднем сечении балки для этого же варианта расчета:
4. Определяем суммарные значения искомых величин в среднем сечении балки с учетом знакопеременности динамических амплитуд, относящиеся к нижней и верхней сторонам балки:
Полученные данные показывают, что в результате установившихся колебаний в балке максимальный во времени прогиб и изгибающий момент не изменяют знак, т.е. растянутой всегда будет нижняя сторона балки.
|
|
|
Как видим результаты расчетов вручную и с помощью ПК практически совпадают.
Эпюры изгибающих моментов при рассмотренных загружениях 1,2,3 соответственно изображены на рис. 3,а-3,г. В третьем (динамическом) загружении получаются две эпюры (рис. 3,в,г). Они соответствуют разложению суммарной нагрузки на колебания по синусу и косинусу. На рис. 3,д изображена эпюра расчетных изгибающих моментов при динамическом загружении, полученная по формуле для 
.
Если предположить, что возмущающая частота совпала с собственной частотой системы (
), то коэффициент динамичности, амплитуда перемещений и амплитуда максимального изгибающего момента при резонансе получились бы соответственно равными:
Тогда соответствующие суммарные величины для прогиба и изгибающего момента в среднем сечении балки получились бы равными:
Полученные результаты показывают, что в результате установившихся колебаний в балке попеременно (с периодом 
) в среднем сечении максимальный во времени прогиб и максимальный изгибающий момент изменяют значения и знак, т. е. растянутыми будут то нижняя (знак +), то верхняя (знак −), стороны балки.
Примерный вид эпюр изгибающих моментов в балке при установившихся колебаниях с коэффициентов динамичности 
показан точечными линиями на рисунке 3,е.
Рис. 3
|
|
|
