Интерпретация регрессии

Коэффициенты b ₀, b ₁ уравнения линейной регрессии представлены в столбце Коэффициенты. Коэффициент Y-пересечение 18,78946749 (ячейка E17) является постоянным членом уравнения b ₀, а коэффициент Площадь 0,021010249 (ячейка E18) – коэффициентом регрессии b ₁. Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

.

Интерпретация уравнения регрессии была приведена выше при анализе линии тренда.

В таблице ВЫВОД ОСТАТКА значения столбца Предсказанное Цена (диапазон E25:E39) являются значениями функции регрессии , которые оценивают стоимость каждого объекта недвижимости. В столбце Остатки (диапазон F25:F39) указаны отклонения , определяющие разность между фактическими значениями и значениями функции регрессии (подобранными значениями). Например, первый объект имеет площадь в 521 квадратный метр. В среднем мы ожидаем, что его стоимость приблизительно равна =29,73580748 тысяч долларов ($29736), но реальная стоимость равна $26000. Отклонение для данного объекта (ячейка F25) составляет $26000 – $29736 = –$3736 тысяч долларов. Следовательно, реальная стоимость меньше ожидаемой на $3736.

Для ответа на вопрос «Насколько хорошо полученная функция регрессии соответствует данным», используются четыре характеристики: стандартная ошибка, R ², t -статистика и анализ дисперсии.

Стандартную ошибку часто называют стандартной ошибкой оценки. Ее можно интерпретировать как стандартное отклонение остатков, которое показывает, какой величины ошибку в среднем вы допускаете, когда вместо фактического значения Y используете значение функции регрессии. Стандартная ошибка измеряется в тех же единицах, что и Y. В ячейке E7 указана величина стандартной ошибки, равная 3,237774407 тысяч долларов (приблизительно $3238). Это означает, что фактическая стоимость объекта недвижимости отличается от стоимости, вычисленной с помощью полученной функции регрессии, на $3238. В случае нормального распределения остатков можно ожидать, что примерно 2/3 точек данных находится на расстоянии не более $3238 выше или ниже прямой.

Если стандартная ошибка оценки является абсолютной мерой величины ошибок, то коэффициент детерминации R ² является относительной мерой. Величина R ² находится в пределах от 0 до 1 и часто выражается в процентах. Значение R ² указано в ячейке E5 и составляет приблизительно 66%. Интерпретация R ² была дана выше при анализе линии тренда. Значение Нормированный R-квадрат, приведенное в ячейке E6, используется для сравнения с другими моделями, содержащими дополнительные независимые переменные.

Значения t -статистик в ячейках G17 и G18 являются частью проверок гипотез о наличии зависимости между переменными X и Y. Данные 15 объектов недвижимости рассматриваются как выборка из большей (генеральной) совокупности. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что зависимость отсутствует, т.е. коэффициент регрессии генеральной совокупности b₁ для площади (переменная Х) равен нулю, а, следовательно, изменение площади не влияет на стоимость (переменная Y).

По полученным результатам коэффициент регрессии выборки b ₁ имеет незначительную стандартную ошибку 0,004148397 (ячейка F18). Это означает, что b ₁ и b₁ мало отличаются друг от друга. Для заданного объема выборки по t -таблице распределения Стьюдента при двустороннем 95%-ом доверительном интервале (в Excel 95%-ый Уровень надежности принят по умолчанию) определяется критическое значение t -статистики (t_табл), которое показывает на сколько стандартных ошибок выборочный коэффициент регрессии b ₁ может отличаться от b₁=0, чтобы нулевая гипотеза оставалась истинной. В нашем случае t_табл =2,16, а значение t -статистики равно 5,064667406 (ячейка G18). Выборочный коэффициент регрессии b ₁ находится на расстоянии 5,064667406 стандартных ошибок от нуля, что существенно больше, чем при t_табл (5,064667406>2,16). Следовательно, нулевая гипотеза отвергается, вычисленный коэффициент регрессии является значимым и имеется зависимость между стоимостью и площадью.

Замечание. Для многих расчетов, исходя из предположения, что выборочные данные распределены нормально, принимают t_табл =2.

В ячейке H18 приведено Р -значение 0,00021678, которое является вероятностью получения результатов при выполнении нулевой гипотезы с 5%-ым уровнем значимости (для 5%-ого уровня значимости вероятность ошибки I рода, когда отвергается нулевая гипотеза, являющаяся истинной, равна 0,05). Обычно нулевую гипотезу отвергают, когда Р -значение меньше 0,05. В данном случае мы можем отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии связи.

Таблица анализа дисперсии подытоживает проверку нулевой гипотезы. Более подробно этот анализ будет рассмотрен при построении множественной модели регрессии.