 |
Включение цепи с резистором и катушкой на синусоидальное напряжение
|
|
|
|
Рис. 5.6
Если напряжение источника цепи (рис. 5.6)
u = Umsin(ωt + ψ),
то установившийся ток
iу = Um / Z sin(ωt + ψ - φ),
где: 
– полное сопротивление цепи;
φ = arctg(ω L/R) - угол сдвига фаз между напряжением и током.
Свободный ток определяется
iсв = A e-t/τ.
Суммируя установившуюся и свободную составляющие, получим выражение для переходного тока:
i = iу + iсв = Um / Z sin(ωt + ψ - φ) + A e-t/τ.
Рис. 5.7
используя независимые начальные условия при t = 0
i(0-) = i(0+) = 0,
находим постоянную интегрирования:
A = -Um / Z sin(ψ - φ).
Тогда переходный ток:
.
Зависимости переходного тока от времени при различных значениях разностей ψ - φ показаны на рис. 5.7. Их анализ позволяет сделать следующие выводы.
1. Если в момент включения установившийся ток равен нулю (ψ - φ = 0 или ψ - φ = π), то свободной составляющей тока не возникает и в цепи сразу возникает установившийся режим:
i = iу = Im sin(ωt) = Um / Z sin(ωt).
2. Если в момент включения установившийся ток имеет наибольшее значение (ψ - φ = π / 2), свободный ток достигает максимального по модулю значения приблизительно через половину периода, однако ни при каких условиях он не может превышать удвоенной амплитуды установившегося тока (рис. 5.7 б).
Переходные процессы в цепи с последовательно включенными резисторами и конденсатором
Разряд конденсатора на резистор
Рассмотрим переходный процесс при коротком замыкании в цепи с конденсатором и резистором (рис. 5.8), если предварительно конденсатор был заряжен до напряжения
uC(0+) = U0 = Е.
Рис. 5.8
Установившийся ток через конденсатор и установившееся напряжение на конденсаторе равны нулю. Для построения характеристического уравнения запишем по второму закону Кирхгофа уравнение для вновь образованного контура
|
|
|
R i + uC = 0.
При расчете переходных процессов в цепях с конденсатором часто удобнее отыскать сначала не ток, а напряжение на конденсаторе uC, а затем учитывая, что 
, найти ток через конденсатор. Поэтому запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в виде:
.
Характеристическое уравнение имеет вид:
RCp + 1 = 0.
Общее решение для свободной составляющей напряжения:
uCсв = A ept = A e-t/τ,
где: А = U0 – постоянная интегрирования;
p = - 1 / (RC) – корень характеристического уравнения;
τ = RC – постоянная времени цепи.
С учетом нулевого значения установившегося напряжения получим напряжение на конденсаторе:
uC = U0 e-t/τ.
Переходный ток в цепи
.
Рис. 5.9
Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени имеют вид экспонент (рис. 5.9).
С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. В самом деле
.
Включение цепи с резистором и конденсатором на постоянное напряжение (заряд конденсатора)
Из схемы, приведенной на рис. 5.10, следует, что установившаяся составляющая напряжения на конденсаторе uCу = U, а свободная составляющая, очевидно, равна
Рис. 5.10
uCсв = A e-t/τ, τ = RC.
Полагаем, что до замыкания ключа конденсатор не был заряжен (Uс(0-) = 0). На основании законов коммутации uC(0-) = uC(0+) = 0, при t = 0; следовательно:
uC(0) = uCу(0) + uCсв(0) или 0 = U + A, откуда А = -U.
Тогда переходное напряжение на конденсаторе
uC = U (1 - e-t/τ),
а переходный ток в цепи
.
Зависимости напряжений и токов от времени показаны на рис. 5.10. Из них видно, что напряжение на конденсаторе возрастает по экспоненциальному закону от нуля до напряжения источника, а ток уменьшается от начального значения до нуля также по экспоненте. Длительность их изменения определяется постоянной времени τ = RC. Здесь как и в п. 5.5.1 время переходного процесса принимается равным t ≈ (3 ÷ 5)τ.
|
|
|
|
|
|
