Сложение чисел в позиционных системах счисления

 

Для сложения чисел в системе с заданным основанием В>1, следуем инструкции [1], был создан отдельный лист электронной книги, вид которого показан на рисунке А3 приложения А. Ячейка В8 содержит основание системы В. Диапазон ячеек для ввода цифр слагаемых D8:AC8 и D9:AC9; диапазон ячеек отображения суммы слагаемых – D10:AC10. Диапазон скрываемых ячеек D12:AC12 содержит формулы для вычисления переносов;

ЦЕЛОЕ((AC9+AC8+AD12)/$B$8),                                                                 (7)

где ЦЕЛОЕ – функция округляет число до ближайшего наименьшего целого;

 AC9, AC8, AD12, $B$8 – ячейки.                    

Смысл формулы (7) в том, что когда сумма двух разрядов и переноса из предыдущего разряда будет больше основания системы счисления, то сформируется перенос в следующий разряд. Диапазон ячеек D10:AC10 содержит формулу для вычисления разрядов суммы:

ОСТАТ(AD12+AC8+AC9;$B$8),                                                                   (8)

где ОСТАТ() – возвращает остаток от деления;

AD12 – ячейка;

AC8 – ячейка;

AC9 – ячейка;

$B$8 – сохраняемая ячейка.

Формула (8) – это часть той же суммы, остающаяся в данном разряде.

Из рисунка А3 приложения А «Сложение чисел с заданным основанием» видно, что группа разрядов чисел «разделена» на листе на две части стрелками. Так можно условно отмечать положение раздельной запятой, когда нужно интерпретировать суммирование как операцию над дробными числами.

Результаты вычислений

2.1 Полученное двадцатеричное представление числа 1190,625₁₀ изображено на рисунке 1, где каждая рамка обозначает двадцатеричную цифру и содержит её десятичное значение.

2

19

10

,

12

10

Рисунок 1 – Двадцатеричное представление числа 1190,625₁₀

Полученное двадцатеричное число содержит пять значащих двадцатеричных цифр.

 

2.2 Перевод десятичной дроби 0,1₁₀ в системы счисления с основаниями 2, …, 9 представлены в таблице 1

Таблица 1 – Перевод из десятичной системы счисления

Основание системы	Исходное число	Полученный перевод числа
2	0,1	0,0(0011)
3	0,1	0,(0022)
4	0,1	0,0(12)
5	0,1	0,0(2)
6	0,1	0,0(3)
7	0,1	0,0(4620)
8	0,1	0,0(6314)
9	0,1	0,(08)

Дробная часть числа в системе с основанием В есть позиционная дробь                          0, а _–1 а _–2…а _–к, записанная цифрами этой системы счисления и обозначающая сумму

а _–1 В ^–1 + а _–2 В ^–2 + … + а _–к В ^–к,                                                                      (9)

где a _–1  - первый член дробной части числа;

 В ^–1 – основание позиционной системы в степени первого члена дробной части числа;

 a _–2  - второй член дробной части числа;

 В ^–2 – основание позиционной системы в степени второго члена дробной части числа;

 a _–к  - к-тый член дробной части числа;

 В ^–1 – основание позиционной системы в степени к-того члена дробной части числа, которая лежит в промежутке от 0 до 1. Значение цифры а _–1  можно извлечь путем умножения величины (9) на основание В. Результат умножения составляет величину а _–1 + а _–2 В ^–1 + … + а _–к В ^{–к + 1}, и его целая часть представляет собой искомое значение цифры а _–1. Вычитая целую часть, вновь получим величину между нулем единицей, из которой таким же путем можно будет извлекать следующие цифры. Процесс продолжается до тех пор, пока не будет получена нулевая дробная часть или пока не будет достигнута приемлемая точность представления дроби.

 

2.3 Перевод десятичной дроби 0,1 ₁₀ в систему счисления с основаниями В=9 представлен на рисунке 2

0

,

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

8

0

7

3

8

Рисунок 2 – Девятеричное представление числа 0,1₁₀

7

3

8

Три неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 ₁₀ в системы счисления с основаниями 9.

Перевод десятичной дроби 0,1 ₁₀ в систему счисления с основаниями В=11 представлен на рисунке 3

0

,

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

5

1

10

10

Рисунок 3 – Представление числа 0,1₁₀ в системе с основанием В=11

5

1

10

10

Четыре неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 ₁₀ в систему счисления с основанием 11.

Перевод десятичной дроби 0,1 ₁₀ в систему счисления с основаниями В=12 представлен на рисунке 4

0

,

1

2

4

9

7

2

4

9

7

2

4

9

7

2

5

0

4

0

6

0

Рисунок 4 – Представление числа 0,1₁₀ в системе с основанием В=12

5

0

4

0

6

0

Шесть неточных последних разряда содержат результаты выполняемого «машиной» перевода десятичной дроби 0,1 ₁₀ в систему счисления с основанием 12.

 

2.4 На рисунке 5 изображен перевод из десятичной системы счисления числа 999999999 в систему с основанием В=9

 

2

5

2

0

6

0

7

1

0

0

Рисунок 5 – Девятеричное представление числа 999999999₁₀

Появление в конце числа двух нулей объясняется соблюдением признака делимости на 9: число делится на 9 тогда и только, когда сумма его цифр делится на 9, как показано ниже:

9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 81;

81 / 9 = 9 остаток 0

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

9 / 9 = 1 остаток 0.

Перевод десятичной дроби 999999999₁₀ в систему счисления с основаниями В=3 представлен на рисунке 6

2

1

2

0

2

0

0

2

0

0

0

2

1

0

1

0

0

0

0

Рисунок 6 – Троичное представление числа 999999999₁₀

Четыре нуля в троичном представлении числа 999999999₁₀.

 

2.5 На рисунке 7 представлен перевод в шестнадцатеричную систему запись целого числа 2595₁₀

10

2

2

Рисунок 7 – Шестнадцатеричное представление числа 2595₁₀

Сумма цифр шестнадцатеричной записи целого числа 2595₁₀ равна:

10 + 2 + 2 = 5;

Признак делимости: шестнадцатеричное число делится на 15, если сумма его цифр делится на 15 – не подтверждается.

 

2.6 На рисунке 8 представлен перевод в десятичную систему запись целого числа 651₇

3

3

0

Рисунок 8 – Десятичное представление числа 651₇

На рисунке 9 представлен перевод в восьмеричную систему запись целого числа 330₁₀

5

1

1

Рисунок 9 – Восьмеричное представление числа 330₁₀

 

Признак делимости на 7, записанного в восьмеричной системе счисления: число делится на 7 тогда и только тогда, когда на 7 делится сумма его цифр – подтверждается, так как:

5 + 1 + 1 = 7;

 

2.7 В таблице 2 представлен перевод в десятичную систему счисления чисел из системы с основанием В=2.

Таблица 2 – Перевод в десятичную систему счисления из двоичной системы

Основание системы	Исходные числа	Полученный перевод числа
2	0,1	0,5
2	0,3	1,5
2	0,8	4

Дробь всегда получается с конечным числом значащих цифр, потому что если знаменатель натуральной несократимой дроби, задающей дробную часть числа, разлагается только на те же простые множители, на которые разлагается основание В системы счисления, то такая дробная часть в позиционной записи будет конечной.

2.8 На рисунке 10 представлено сложение двух чисел в двоичной системе

1	1	1	0	1	0	0	1	0	0	0	1	1	0	1	0	0	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	0	1
1	1	1	0	1	0	0	0	1	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1

Рисунок 10 – Сложение двух чисел в двоичной системе

«Сумматор» будет работать неправильно из-за переполнения его разрядной сетки, так как сложение чисел происходило с ограниченным числом разрядов.

Наибольшее правильно вычисляемое значение суммы имеет вид:

111111111111111111111111102 =67 108 86210.

2.9 На рисунке 11 представлен перевод в десятичную систему запись числа 2460,73₈

1

3

2

8

,

9

2

1

8

7

5

Рисунок 11 – Десятичное представление числа 2460,73₈

На рисунке 12 представлен перевод в восьмеричную систему запись числа 1328,921875₁₀

2

4

6

0

,

7

3

Рисунок 12 – Восьмеричное представление числа 1328,921875₁₀

Согласно заданию число 2460,73₈ было переведено в десятичную систему счисления, а затем снова в восьмеричную систему счисления

2460,73₈ → 1328,921875₁₀ → 2460,73₈

2.10 Пусть В=2, Х_В = 100,0001₂, Y_В = 100,0111₂, С=7 (исходные данные варианта №1). В таблице 3 представлены X_B и Y_B в систему с основанием С и результатами независимых суммирований Z_B и Z_С

Таблица 3 – Результаты вычислений

Основание системы счисления	Величина
	Х	Y	Z
2	100,0001	100,0111	1000,1
7	4,(03)	4,(30)	11,(3)

 

 

Каждая из получено сумм Z_C и Z_В при переводе в десятичную систему представляет собой 8,б5.

 

Индивидуальное задание (Вариант №19)

В таблице представлены результаты преобразования X_B и Y_B в систему с основанием С и результаты независимых суммирований Z_B = X_B + Y_B и Z_c = X _с + Y _с.

X_B → X_C;

Y_B → Y_C;

X_B + Y_B → Z_B → Z₁₀;

X_C + Y_C → Z_C → Z’₁₀;

Таблица 4  – Результаты вычисления

Основание системы счисления	Величина
	X	Y	Z
4	2033231,0021	13303101,3121	100301232,3202
7	212121,(24612)	162105,(593362)	404230,(202512)

Каждая из полученных независимых сумм Z_B и Z _с  при переводе в десятичную систему счисления представляет собой число 68718,88281 и 68719,2937, т.к. перевод и сложение чисел происходит с ограниченным числом разрядов.

Заключение

Результатом выполнения расчётно-графической работы является электронная книга Microsoft Excel, позволяющая осуществлять перевод чисел из одной позиционной системы в другую систему с любым основанием, а также сложение чисел в произвольной системе счисления. Для разработки этой книги были использованы теоретический материал из [2] и методические указания из [1].

В ходе выполнения индивидуального задания косвенно контролировалось переполнение при представлении чисел в разных системах счисления. Для этого заданные числа 100,0001₂ и 100,0111₂ суммировались раздельно в двоичной и в семеричной системах счисления. При переводе в десятичную систему полученные суммы дали одинаковый результат, что значит, что переполнение при переводе чисел не произошло.

Для этого заданные числа 2033231,0021₄ и 13303101,3121₄ суммировались раздельно в четверичных и в семиричных системах счисления. При переводе в десятичную систему полученные суммы не дали одинаковый результат, что значит, что переполнение при переводе чисел произошло.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: