Составление уравнения статики объекта

Моделирование гидравлического объекта

Расчётно-пояснительная записка к курсовой работе

по дисциплине «Математическое моделирование»

 

 

2019

 

Задание

    Разработать для предложенной схемы объекта математическую модель, провести ее линеаризацию и получить модель в линейном приближении.

    Исследовать оба варианта модели (нелинейную и линейную) путем построения и анализа статистических и динамических характеристик по различным каналам (вывести модель в общем виде для всех каналов, а конкретные каналы будут выданы индивидуально руководителем). Исследование провести в направлении сравнения нелинейной и линейной модели при двух различных режимах.

    Все необходимые параметры и диапазоны их измерения при исследовании для моделирования взять из самостоятельно подобранных аналогов реальных аппаратов или у преподавателя.

Схема объекта

 

Рис.1 – Схема объекта

Описание схемы объекта

    Две гидравлические емкости соединенные последовательно с притоком ниже уровня жидкости в аппаратах и естественным стоком при атмосферном давлении.

    Система последовательно включённых емкостей часто используется в качестве каких-либо фильтров или “отстойников” для очистки используемой воды (или других жидкостей) перед сбросом во внешнею среду.

    Жидкость попадает в первый бак и имеет давление P₁. Подача производиться через клапан с обобщённым коэффициентом расхода α₁. Уровень воды в первом баке равен h₁. Из первого резервуара жидкость переливается во второй резервуар через клапан с коэффициентом расхода α₂. Уровень во втором баке равен h₂. Жидкость вытекает из второго резервуара в атмосферу через клапан с коэффициентом расхода α₃. Оба резервуара не имеют крыши, а значит, над поверхностью жидкости нет избыточного давления. Объемные расходы жидкости на притоке и стоке равны Q₁ и  Q­₂ соответственно.

 

 

Основные входы объекта

    Входные параметры объекта:

1) α₁ – обобщенный коэффициент расхода клапана на притоке, который включает в себя сечение трубопровода, плотность вещества и ряд других параметров, в том числе и степень открытия клапана. Как привило изменение α₁ связано с изменением степени открытия клапана. Но так же коэффициент расхода может меняться по причине засорения клапана.

2)  α₂ – обобщенный коэффициент расхода клапана на линии, соединяющей резервуары. Причиной изменения α₂ так же является воздействие на клапан.

3) α₃ – обобщённый коэффициент расхода клапана на стоке. Причины изменения α₃ те же.

4) Р₁ – давление воды на подаче воды в резервуар. Источником давления Р₁ может быть насос, водонапорная башня или другой технологический аппарат. Колебания давления Р₁ могут быть вызваны неисправностями насоса, скачками напряжения, питающего насос, а в случае водонапорной башни – изменением уровня воды в ней.

Основные выходы объекта

    Выходные параметры объекта:

1) Уровень воды h₁ в первом резервуаре. Колебания входных параметров α₁ и Р₁ приводят к изменению расхода Q₁, а это приводит к изменению объема воды в баке 1 и уровня воды в нем. Изменение коэффициента расхода α₂ вызывает изменение притока воды из бака 1 в бак 2, что так же влияет на уровни h₁ h₂ и h3.

2) Уровень воды h₂ во втором резервуаре. Он зависит от стока воды в атмосферу, а значит от коэффициента расхода α₃, и от притока, то есть коэффициента α₂, а так же от уровня h₁.

Основные каналы объекта

1) Канал Р₁ - h₁. Изменение давления P₁ приводит к изменению расхода воды Q₁, что вызывает дисбаланс расходов и изменение уровня в первом и втором резервуаре.

2) Канал α₁ - h₁. Изменение коэффициента расхода α₁ также вызывает изменение расхода Q₁, что приводит к изменению уровня воды в первом и во втором резервуаре.

3) Канал α₂ - h₁. Изменение коэффициента расхода α₂ меняет расход воды Q₁₂ между емкостями, а соответственно нарушает баланс притока и стока воды в первом резервуаре, и это приводит к изменению уровня.

4) Канал α₃ - h₁. Изменение коэффициента расхода α₃ вызывает изменение истока воды из второй емкости. Это вызывает дисбаланс расходов во второй емкости и изменения уровня в ней. В свою очередь, изменение уровня h₂ приводит к изменению перетока Q₁₂ между емкостями (за счет изменения гидростатического давления), а это влияет на уровень h_1.

5) Канал Р₁ – h₂. Влияние давления P­₁ на уровень во втором резервуаре происходит через изменение уровня в первом резервуаре h₁, изменение перетока q₁₂ между ёмкостями и нарушение баланса входа и выхода второй ёмкости.

6) Канал α₁ – h₂. Влияние аналогично предыдущему каналу.

7) Канал α₂ – h₂. Влияние происходит за счет нарушения баланса расходов Q₁₂ и Q₂.

8) Канал α₃ – h₂. Изменение коэффициента расхода α₃ вызывает изменение истока воды из второй ёмкости. Это вызывает дисбаланс расходов во второй емкости и изменение уровня в ней.

 

Система допущений

1) Жидкость в системе – вода. Плотность воды постоянна во всех точках объекта и равна ρ = 1000 кг/м³. Пренебрежём зависимостью плотности от температуры и давления.

2) Резервуары имеют постоянную площадь сечения и являются цилиндрами с плоским дном. Зависимость уровня воды от объема в баке будет линейной.

3) Отсутствуют утечки воды, а также испарение воды. Материальный баланс объекта определяется только расходами на входе и выходе объекта Q₁ и Q₂.

4) В расчётах используется избыточное давление, поэтому атмосферное давление нулю.

5) Приток и сток воды осуществляется на одном уровне.

 

Составление уравнения статики объекта

       Для составления модели статики необходимо записать уравнение материального баланса для объекта. В статическом режиме масса воды, поступающей в систему, равна массе воды, покидающей систему.

       Статический режим подразумевает, что выходные переменные – уровни жидкости h₁ и h_2, не изменяются. Это значит, что для каждого резервуара соблюдается материальный баланс.

       Введем в рассмотрение расход воды, перетекающей из резервуара 1 в резервуар 2 – Q₁₂ (объёмный расход), и соответствующий ему массовый расход G₁₂. Также введем переменные P₁ и Р₂ – гидростатические давления в резервуарах 1 и 2 соответственно.

       Уравнения материального баланса в статике:

G₁=G₁₂=G₂

Запишем уравнение материального баланса в объемных расходах:

 Q₁ * ρ = Q₁₂ * ρ = Q₂ * ρ

Плотность жидкости можно сократить из уравнений, т.к. было принято допущение о равенстве плотности во всех точках системы.

Q₁ = Q₁₂ = Q₂

Запишем формулы объемных расходов:

 

                                  

 

Воспользуемся равенством расходов Q₁ и Q₂ в статическом режиме и выразим уровень h₂:

                                             

 

                               

 

Теперь воспользуемся равенством расходов в статике Q₁ = Q₁₂:

                                      

 

Подставим в последнее выражение формулу для h₂:

 

 

 

         

 

        

 

         

 

         Последнее уравнение является уравнение статики для величины h₁. Оно учитывает значения всех входных переменных.

         Теперь выведем уравнение для выходной переменной h₂. Для этого в формулу h₂ подставим полученное выражение для h₁:

 

 

 

 

 

 

Получили уравнение статики для выходной величины h₂.

 

12	Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: