 |
Тема 2. Элементы теории множеств и отображений (функций)
|
|
|
|
ЧАСТЬ I. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ.
Значение алгебраической культуры в современном образовании экономиста. Краткая история применения алгебраических методов в экономике. Использование в экономике алгебраических понятий и моделей.
Тема 2. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Системы линейных уравнений. Векторы и матрицы. Эквивалентные преобразования систем линейных уравнений. Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных. Метод Жордана - Гаусса. Общее решение систем линейных уравнений.
Тема 3. n -МЕРНЫЕ ВЕКТОРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
n -мерные векторы и операции над ними. Линейная зависимость и независимость векторов. Ранг и база набора векторов. Максимальные линейно независимые подсистемы векторов. Теорема о двух наборов векторов.
Тема 4. РАНГ МАТРИЦЫ. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
Ранг матрицы. Теорема о ранге матрицы. Теорема Кронекера - Капелли. Операции над матрицами и их свойства. Теорема о существовании обратной для каждой невырожденной матрицы. Вычисление обратной матрицы с применением метода Гаусса - Жордана.
Тема 5. КОНЕЧНОМЕРНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Линейное пространство. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в базисе. Подпространства линейного пространства. Два способа задания подпространств: в виде линейной оболочки набора векторов и в виде множества решений однородной системы линейных уравнений. Фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений. Алгебраические операции над векторными множествами. Сумма множеств в смысле Минковского. Сумма и пересечение подпространств. Формула Грассмана. Структура множества решений неоднородной системы линейных уравнений. Линейные многообразия. Взаимное расположение линейных многообразий. Аффинные оболочки множеств. Выпуклые множества; их свойства. Выпуклые оболочки множеств.
|
|
|
Тема 6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ
Комплексные числа. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа. Действия над комплексными числами. Возведение в степень и извлечение корня. Многочлены. Лемма о делимости двух многочленов. Теорема Безу. Теорема Виета. Основная теорема высшей алгебры. Разложение многочлена на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.
Тема 7. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Определение и свойства определителя. Эквивалентные определения определителя. Вычисление определителей методом элементарных преобразований. Решение систем с квадратной матрицей по правилу Крамера. Нахождение обратной матрицы с помощью определителей. Определитель Грама и его свойства.
Тема 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Билинейные и квадратичные формы и их матрицы. Канонический вид квадратичных форм. Теорема инерции. Знакоопределённые квадратичные формы и их связь с задачами оптимизации функций многих переменных.Критерий Сильвестра положительной определённости квадратичных форм. Критерий главных миноров.
Тема 9. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Скалярное произведение и его свойства. Длина вектора, угол между векторами, расстояние между ними. Неравенство Коши - Буняковского и неравенство треугольника. Ортогональный базис. Процесс ортогонализации. Ортогональные дополнения к подпространствам и их свойства. Теорема о проекции. Расстояние между линейными многообразиями. Общий перпендикуляр к двум линейным многообразиям. Несовместные системы линейных уравнений и метод наименьших квадратов. Псевдорешения. Использование метода наименьших квадратов для обработки данных в экономике.
|
|
|
Тема 10. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ИХ МАТРИЦЫ. ПЕРЕХОД К НОВОМУ БАЗИСУ
Линейные операторы и их матрицы. Матрица перехода к новому базису. Изменение координат вектора при переходе к новому базису. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Невырожденные линейные операторы. Эквивалентные определения. Обратный оператор. Образ и ядро линейного оператора.
Тема 11. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА
Инвариантные подпространства и собственные векторы. Характеристический многочлен. Алгебраическая и геометрическая кратность корней характеристического многочлена. Свойства собственных векторов. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду невырожденным линейным преобразованием.
Тема 12. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Свойства матриц с неотрицательными элементами. Теоремы Перрона и Фробениуса и их применение в экономике.
Тема 13. НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВИДЫ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Симметрические линейные операторы и их свойства. Эрмитовы линейные операторы и их свойства. Ортогональные линейные операторы и их свойства. Приведение матрицы симметрического линейного оператора к диагональному виду ортогональным преобразованием.
Тема 14. ПРИВЕДЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ К ГЛАВНЫМ ОСЯМ
Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием. (Приведение к главным осям). Приведение к каноническому виду пары квадратичных форм.
Основная литература:
1. Белоусов Е.Г., Курош Н.А. Линейная алгебра: операции с множествами. М.: ТЭИС, 2003.
2. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия, М.: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2007.
3. Ким Г.Д., Крицков Л.В. Алгебра и аналитическая геометрия. Теоремы и задачи. Т.1-2. Москва, Планета Знаний, 2007.
4. Кострикин И.А., Сенченко Д.В., Слепак Б.Э., Черемных Ю.Н. Линейная алгебра. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1990.
5. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. СПб.: Лань, 2010.
6. Шевцов Г.С. Линейная алгебра: теория и прикладные аспекты. СПб.: Лань, 2011.
ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Тема 1. ВВЕДЕНИЕ
|
|
|
Задача максимизации прибыли фирмы. Примеры производственных функций. Обзор основных положений теории функции одной и нескольких переменных. Производная функции одной переменной. Ее геометрическая интерпретация и ее свойства. Производная сложной и обратной функции. Понятие эластичности. Понятие множества (линии) уровня функции двух переменных. Карта множеств уровней функции двух переменных. Частные производные функции двух (нескольких) переменных и их геометрическая интерпретация. Градиент и его геометрическая интерпретация. Взаимное расположение линии уровня функции двух переменных и ее градиента. Экономические примеры (функции спроса и предложения, производственная функция, функция полезности, функция издержек, линия безразличия, изокванта, изокоста). Производная векторной функции скалярного аргумента. Производная неявной функции. Понятие об экстремуме функции одной переменной. Абсолютный и условный экстремумы функции двух (нескольких) переменных и их использование для решения экономических задач.
Тема 2. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И ОТОБРАЖЕНИЙ (ФУНКЦИЙ)
Понятие множества и подмножества. Пустое множество. Множество всех подмножеств множества. Операции над множествами. Декартово произведение (прямое произведение) множеств. Отношение, бинарное отношение. Соответствие. Взаимно однозначное соответствие. Эквивалентные множества, счетные и несчетные множества. Примеры. Понятие отображения (функции), его области определения и области значений. Неподвижная точка отображения. Обратимое и обратное отображения. Композиция отображений. Примеры отображений (скалярные и векторные функции одной и нескольких переменных, точечно-множественные отображения и их геометрическая интерпретация). Использование частного квантора и квантора общности.
|
|
|
