 |
Обзор используемой литературы
|
|
|
|
Студент Пименов А.Е.
Преподаватель Гинзгеймер С.А.
Калуга 2010г.
Аннотация
В различных науках о природе есть такие задачи, которые не решены до сих пор, несмотря на их важность для развития самих наук и познания окружающего нас мира.
Одной из таких наук является небесная механика - наука о движении естественных и искусственных небесных тел под действием сил различной физической природы. Одна из важнейших задач, изучаемая небесной механикой - знаменитая задача трех тел (точнее, трех материальных точек).
Содержание
Постановка задачи
. Исследовательская часть
Выбор средства разработки
Обзор используемой литературы
. Конструкторская часть
О законах Кеплера и о всемирном тяготении
Точные решения задачи трех тел
Аналитические и численные решения
Ограниченная задача трех тел
Вывод уравнений
. Технологическая часть
Заключение
Литература
Постановка задачи
mathcad математический задача кеплер
Рассмотрим задачу Кеплера для трех тел. Тело массой m, в первоначальный момент времени находиться в точке с радиус вектором 
и имеет скорость 
. Притягивающие центры массами М1 и М2 находятся в точках с радиус векторами 
и 
, соответственно. Необходимо определить траекторию движения тела в зависимости от его начальных координат, начальной скорости и кинетической энергии.
Рис. 1
Исследовательская часть
Выбор средства разработки
Для реализации курсовой работы была использована система MathCAD.
Система MathCAD предоставляет собой мощное, удобное и наглядное средство описания алгоритмов решения математических задач. Система MathCAD настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему азы математики, так и академику, работающему со сложнейшими научными проблемами.
|
|
|
Система имеет достаточные возможности для выполнения наиболее массовых символьных (аналитических) вычислений и преобразований. Более 600 000 только зарегистрированных пользователей владеют различными версиями системы MathCAD во всем мире Вычислительные возможности MathCAD нисколько не затрудняют удивительно простое и интуитивно предсказуемое общение с системой на общепринятом языке математических формул и графиков.
Исключительно велика роль системы MathCAD в образовании. Облегчая решение сложных математических задач, система снимает психологический барьер при изучении математики, делая его интересным и достаточно простым. Грамотное применение системы в учебном процессе обеспечивает повышение фундаментальности математического и технического образования, содействует подлинной интеграции процесса образования. Система MathCAD позволяет готовить электронные уроки и книги с использованием новейших средств мультимедиа, включая гипертекстовые и гипермедиа-ссылки, изысканные графики (в том числе анимационные), фрагменты видеофильмов и звуковое сопровождение.
Программа Mathcad сочетает в себе:
· набор мощных инструментов для технических расчетов с полиграфическим качеством написания формул;
· гибкий, полнофункциональный текстовый редактор.
С помощью эффективной среды решения задач программы Mathcad можно выполнять работу и демонстрировать результаты в одном и том же документе - на рабочей странице Mathcad. Прекрасное взаимодействие с другими инженерными, графическими и бизнес приложениями делает Mathcad необходимым элементом любого многогранного решения. Мощные средства Интернет-опубликования ускоряет процесс ознакомления с документами коллег и других Mathcad пользователей. В отличие от другого технического программного обеспечения Mathcad осуществляет математические расчеты в той же последовательности в которой Вы их записываете. Вводятся уравнения, данные для построения графика функции и текстовые примечания в любом месте страницы, при этом математические выражения в Mathcad записываются в полиграфическом формате.
|
|
|
Единственная разница с обычным текстом, включающим математические формулы и графики состоит в том, что в Mathcad уравнения и графики - "живые". Изменение значений переменных, данных графика или уравнений приведет к немедленному перевычислению рабочей страницы.
Набор математических функций и методов вычислений, входящих в Mathcad настолько велик, что его можно сравнить с математической энциклопедией с живыми формулами. Например, Mathcad содержит все элементарные математические функции и большое количество специальных функций; обрабатывает данные, в том числе статистическими методами, находит подгоночные функции; строит двух- и трехмерные графики; решает численно и аналитически системы дифференциальных уравнений, как обыкновенных так и с частными производными, а также решает множество других задач. Взаимодействие с другими приложениями.
Вы можете легко расширить вычислительную мощность Mathcad используя специализированные OLE объекты, позволяющие связываться с другими приложениями и источниками данных. Например, конструкторские чертежи, созданные при помощи программ SmartSketch и AutoCad, могут быть помещены в рабочий документ Mathcad и взаимодействовать с переменными Mathcad. Обратно, Mathcad вычисления можно интегрировать в другие приложения для решения задач или демонстрации идей. Например, Excel Add-in для Mathcad позволяет вставлять Mathcad вычисления в электронные таблицы Excel. Вы можете автоматизировать Ваши AutoCAD чертежи и автоматически изменять их из Mathcad в соответствии со спецификациями. Вы можете даже использовать Visual Basic и OLE объекты для создания независимых приложений, включающих Mathcad вычисления.
В стандартный комплект поставки Mathcad входят компоненты для связи со следующими приложениями: Excel, MATLAB, S-PLUS, Axum, и SmartSketch, которые требуют наличия соответствующих версий этих продуктов.ресурсы.
|
|
|
Только подготовленные Mathcad пользователи постоянно находят новые способы использования Mathcad, а для начинающего его возможности могут быть казаться ошеломляющими. Учебники Mathcad предназначены пользователям Mathcad любого уровня - от начинающих до квалифицированных специалистов. Имеются следующие интерактивные учебные материалы:(Учебники) - могут быть полезны пользователям с любым опытом работы. Для начинающих имеется руководство, позволяющее шаг за шагом изучить правила построения и редактирования выражений, форматирования графиков, ввода и форматирования текста, работы с единицами физических величин, использования встроенных функций и операторов.- набор рабочих документов для типичных графиков, вычислений и анализов. Вы можете найти готовые модели для большого количества Ваших задач и, меняя входные параметры, получать нужные Вам результаты.Tables (справочные таблицы) - содержат физические постоянные и математические формулы, Вы можете найти нужные Вам формулы без других математических или инженерных справочников.и Интернет.- это Интернет инструмент, помогающий использовать Интернет как ресурс и публиковать Ваши Mathcad электронные документы в HTML формате. Mathcad 11 включает расширения для математической нотации в HTML документах - язык MathML. В дальнейшем Вы можете читать эти документы из Интернет без потери информации. На сайте www.mathsoft.com имеется большое количество созданных пользователями электронных книг, графиков и анимаций. Интернет- форум пользователей Mathcad позволит Вам через инструмент Mathcad Mathconnect быстро и эффективно взаимодействовать с другими пользователями Mathcad, обмениваться идеями, электронными документами и методами расчетов.
Задача двух тел
В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.
|
|
|
Задачу двух тел можно представить как две независимых задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.
Задача трех тел
Задача трёх тел (в астрономии) - частная задача небесной механики, состоящая в определении относительного движения трёх тел (материальных точек), взаимодействующих по закону тяготения Ньютона (например, Солнца, Земли и Луны). В общем случае не существует решения этой задачи. Известно только 5 точных решений для специальных начальных скоростей и координат объектов. Общая задача 3-тел в небесной механике является задачей с начальными условиями для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для заданных начальных условий 
и 
для различных j и k, нужно найти решение системы уравнений второго порядка
где m1,m2,m3 - массы тел, и q1,q2,q3 - их трёхмерные векторные функции, зависящие от времени t, описывающие положение этих масс.
Обзор используемой литературы
Книги о движении космических тел:
1. А.П. Маркеев. Задача трех тел и ее точные решения, 1999.
2. Е.И. Бутиков. Движения космических тел в компьютерных моделях.
Для работы со специфическими функциями MathCad 2000 использовалась стандартная справка. Некоторые материалы взяты с сайта www.exponenta.ru.
Конструкторская часть
О законах Кеплера и о всемирном тяготении
Геометрические законы движения небесных тел, составляющих Солнечную систему, были установлены трудами немецкого ученого Иоганна Кеплера, который в своих трудах опирался на материалы наблюдений, полученные его предшественниками, в частности на богатый наблюдательный материал датского ученого Тихо Браге. В результате многотрудных поисков И. Кеплер установил три следующих закона.
1. Каждая планета Солнечной системы обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
2. Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные времена радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, заметает сектора равной площади.
. Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их больших полуосей.
Законы Кеплера имеют только кинематический характер, то есть они не рассматривают причины (силы), обусловливающие движение планет, хотя некоторые ученые эпохи Кеплера были близки к правильному пониманию этих причин, отмечали свойство небесных тел притягиваться друг к другу (Н. Коперник, Г. Галилей). Сам И. Кеплер писал: "Если в каком-нибудь месте мира находились два камня на близком расстоянии друг к другу и вне сферы действия какого бы ни было родственного им тела, то эти камни стремились бы соединиться друг с другом подобно двум магнитам". Еще более близок к пониманию причин, объяснявших движение планет, был Р. Гук, отметивший увеличение силы взаимодействия небесных тел при уменьшении расстояния между ними.
|
|
|
Наиболее полное и строгое описание взаимодействия тел дал Исаак Ньютон в 1687 году в своем знаменитом трактате "Математические начала натуральной философии". Ньютон открыл закон, который впоследствии получил название закона всемирного тяготения или закона притяжения Ньютона: две материальные точки масс m1 и m2 притягиваются одна к другой с силой F, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними, то есть
.(1)
Здесь 
- универсальная гравитационная постоянная, одна и та же для всей Вселенной, 
.
Закон всемирного тяготения является фундаментом небесной механики. Во всех ее основных задачах силы взаимодействия между телами определяются формулой Ньютона (1).
|
|
|
