 |
Теорема 1. (Об обратной матрице)
|
|
|
|
Введение
Обозначения
Î - знак принадлежности;
– пустое множество;
ï,: - “такой, что”;
Þ - “следует”;
Û - “тогда и только тогда”;
N - множество натуральных чисел;
Z - множество целых чисел;
R - множество действительных чисел;
Q - множество рациональных чисел.
Кванторы:
" - “для любого”;
$ - “существует”.
Глава 1. Линейная алгебра
§1. Матрицы. Действия над ними.
Опр.1. Таблица вида 
= 
= 
наз. матрицей размера m 
n, m - число строк, n - столбцов, 
наз. элементами матрицы A 
.
В дальнейшем строки и столбцы будем наз. рядами.
Опр.2. При m=n -матрица наз. квадратной порядка n: 
.
ПР. Некоторая компания в перерабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта.
| Вид |  Районы продажи
| ||
| продукции | |||
.
Опр.3. Пусть A = 
, 
.
= 
, 
.
Опр.4. Нулевой матрицей наз. матрица О 
, все элементы которой равны 0.
Опр.5. Единичной матрицей наз. квадратная матрица Е 
, где 
. ПР. 
Опр.6. Суммой матриц A и B размера 
наз. матрица 
: 
, 
.
Опр.7. Произведением матрицы Aна число 
наз. матрица 
: 
, 
. ПР.
Опр.8. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число наз. линейными операциями.
Свойства линейных операций (аналогичны свойствам операций над числами):
1) A+B=B+A; 2) 
3) 
; 4) 
5) 
Опр.9. Операция над матрицей A, при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, наз. транспонированием. Обозначение 
.
ПР.
Опр.10. Пусть 
, 
.
Опр.11. Произведением матриц A и B наз. матрица 
, элементы которой вычисляются по формуле
, 
.
ПР. 
, 
. 
.
Замечание 1. Умножать матрицу А на матрицу В можно тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
|
|
|
Замечание 2. В общем случае 
. Если же 
, то
матрицы наз. перестановочными.
Свойства умножения матриц. (Предполагаем, что матрицы А, В, С имеют размеры, позволяющие производить указанные действия.)
1) 
, где 
; 2) 
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
Определители.
Опр.1. Квадратной матрицей порядка n наз. матрица А размера 
.
Опр.2. Определителем квадратной матрицы 
первого порядка наз. число 
= 
.
Опр.3. Определителем квадратной матрицы 
называется 
Воспользуемся методом математической индукции.
Пусть определен определитель (n-1)-го порядка.
Опр.4. Минором 
элемента 
квадратной матрицы 
наз. определитель матрицы, полученной из данной вычеркиванием i -й строки и j -го столбца.
ПР. 
Опр.5. Алгебраическим дополнением 
элемента квадратной матрицы наз. число 
.
ПР. 
.
Опр.6. Определителем квадратной матрицы порядка n наз. число, которое ставится ей в соответствие по формуле:
. Такое вычисление определителя наз. разложением по первой строке.
ПР. 
= 
= разложим по 1-й строке= = 
.
ПР. 
= разложим по 1-й строке =
ПР. 
= – 286, 
.
Свойства определителей. Пусть 
.
1) Сумма произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
.
2) 
.
3) При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.
ПР. 
4) Если матрица А имеет два пропорциональных параллельных ряда, то =0.
ПР. 
.
5) Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя.
ПР. 
6) Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю.
7) Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на число k (док. сам.).
ПР. 
.
8) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ему ряда равна нулю (док. сам.)
|
|
|
9) Пусть 
и 
– определители, различающиеся элементами только одного ряда. Тогда их сумма равна определителю, у которого указанный ряд состоит из сумм соответствующих элементов определителей и .
10) 
.
Замечание 2. Из свойств следует, что определитель удобно вычислять, преобразовав предварительно его так, чтобы в каком-либо ряду получились нули (если все нули, то определитель =0).
ПР. 
=0;
Опр.7. Квадратная матрица наз. вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае – невырожденной.
§3 Обратная матрица.
Пусть 
.
Опр.1. О братной к матрице А наз. такая матрица 
, что
.
Теорема 1. (Об обратной матрице)
Если матрица 
- невырожденная, то она имеет обратную, которую можно найти по следующей формуле:
,
где 
- алгебраические дополнения элементов исходной матрицы А 
.
Док-во. Пусть 
. Покажем, что 
.
Пусть 
, тогда 
=
= 
= 
.
Аналогично проверяется, что 
. Ч.т.д.
Следствие. Для невырожденной матрицы 
обратная матрица имеет вид 
.
ПР.1. 
, 
. Проверка!
ПР.2. 
, 
.Проверка!
Замечание. Если 
, то не существует.
Ранг матрицы.
Рассмотрим матрицу 
. Пусть 
и 
.
Опр.1. Выделимв матрице Аk строк и k столбцов. Определитель порядка k, порожденный элементами, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, наз. минором k-го порядка матрицы 
и обозначается 
.
ПР. 
. 
,
Опр.2. Наибольший порядок ненулевого минора матрицы А наз рангом этой матрицы. Обозначение: 
Очевидно, что 
.
Замечания:
1) 
. Во всех остальных случаях 
;
2) 
;
3) 
;
4) добавление или вычеркивание нулевого ряда не меняет ранга матрицы.
Опр.3. Базисным минором называется минор, не равный нулю, порядок которого совпадает с рангом матрицы.
Опр.4. Элементарными преобразованиями матрицы называют:
1) умножение некоторого ряда на число, отличное от нуля;
2) перестановка двух параллельных рядов.
3) прибавление к одному ряду любого другого, параллельного ему, умноженного на какое-либо число.
|
|
|
