Теорема 1. (Об обратной матрице)
Стр 1 из 2Следующая ⇒ Введение Обозначения Î - знак принадлежности;
ï,: - “такой, что”; Þ - “следует”; Û - “тогда и только тогда”; N - множество натуральных чисел; Z - множество целых чисел; R - множество действительных чисел; Q - множество рациональных чисел. Кванторы: " - “для любого”; $ - “существует”.
Глава 1. Линейная алгебра §1. Матрицы. Действия над ними. Опр.1. Таблица вида В дальнейшем строки и столбцы будем наз. рядами. Опр.2. При m=n -матрица наз. квадратной порядка n: ПР. Некоторая компания в перерабатывающей промышленности располагает данными о своих продажах на протяжении года, сгруппированными по видам изготовляемой продукции и районам сбыта.
Опр.3. Пусть A =
Опр.4. Нулевой матрицей наз. матрица О Опр.5. Единичной матрицей наз. квадратная матрица Е Опр.6. Суммой матриц A и B размера Опр.7. Произведением матрицы Aна число Опр.8. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число наз. линейными операциями. Свойства линейных операций (аналогичны свойствам операций над числами): 1) A+B=B+A; 2) 3) 5) Опр.9. Операция над матрицей A, при которой ее строки становятся столбцами с теми же номерами, наз. транспонированием. Обозначение ПР. Опр.10. Пусть Опр.11. Произведением матриц A и B наз. матрица
ПР. Замечание 1. Умножать матрицу А на матрицу В можно тогда и только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Замечание 2. В общем случае матрицы наз. перестановочными. Свойства умножения матриц. (Предполагаем, что матрицы А, В, С имеют размеры, позволяющие производить указанные действия.) 1) 3) 5) Определители. Опр.1. Квадратной матрицей порядка n наз. матрица А размера Опр.2. Определителем квадратной матрицы Опр.3. Определителем квадратной матрицы Воспользуемся методом математической индукции. Пусть определен определитель (n-1)-го порядка. Опр.4. Минором ПР. Опр.5. Алгебраическим дополнением ПР. Опр.6. Определителем квадратной матрицы порядка n наз. число, которое ставится ей в соответствие по формуле:
ПР. ПР. ПР. Свойства определителей. Пусть 1) Сумма произведений элементов любого ряда определителя на их алгебраические дополнения не зависит от номера ряда и равна этому определителю:
2) 3) При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак. ПР. 4) Если матрица А имеет два пропорциональных параллельных ряда, то ПР. 5) Общий множитель элементов ряда можно выносить за знак определителя. ПР. 6) Определитель, имеющий нулевой ряд, равен нулю. 7) Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого параллельного ему ряда, умноженные на число k (док. сам.). ПР. 8) Сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого параллельного ему ряда равна нулю (док. сам.)
9) Пусть 10) Замечание 2. Из свойств следует, что определитель удобно вычислять, преобразовав предварительно его так, чтобы в каком-либо ряду получились нули (если все нули, то определитель =0). ПР. Опр.7. Квадратная матрица наз. вырожденной, если ее определитель равен нулю, в противном случае – невырожденной. §3 Обратная матрица. Пусть Опр.1. О братной к матрице А наз. такая матрица
Теорема 1. (Об обратной матрице) Если матрица
где Док-во. Пусть Пусть = Аналогично проверяется, что Следствие. Для невырожденной матрицы ПР.1. ПР.2. Замечание. Если Ранг матрицы. Рассмотрим матрицу Опр.1. Выделимв матрице Аk строк и k столбцов. Определитель порядка k, порожденный элементами, стоящими на пересечении выделенных строк и столбцов, наз. минором k-го порядка матрицы ПР. Опр.2. Наибольший порядок ненулевого минора матрицы А наз рангом этой матрицы. Обозначение: Очевидно, что Замечания: 1) 2) 3) 4) добавление или вычеркивание нулевого ряда не меняет ранга матрицы. Опр.3. Базисным минором называется минор, не равный нулю, порядок которого совпадает с рангом матрицы. Опр.4. Элементарными преобразованиями матрицы называют: 1) умножение некоторого ряда на число, отличное от нуля; 2) перестановка двух параллельных рядов. 3) прибавление к одному ряду любого другого, параллельного ему, умноженного на какое-либо число.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|