Теорема 2. (Об элементарных преобразованиях матрицы)
⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2 Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы. Опр.5. Минором, окаймляющим минор матрицы А, наз. минор , содержащий минор . Можно выделить два метода отыскания ранга матрицы: а) с помощью окаймляющих миноров: если в матрице А имеется минор , а все окаймляющие его миноры , то ранг матрицы равен k; б) с помощью элементарных. преобразований приводим матрицу к виду трапеции. ПР. . , все Системы линейных алгебраических уравнений. Опр.1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными наз. система вида: (1), где -коэффициенты при неизвестных , - свободные коэффициенты (свободные члены), . Опр.2. Система (1) наз. однородной при , . Опр.3. Упорядоченный набор чисел наз. решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных в систему каждое уравнение обращается в верное равенство. Опр.4. Решить систему (1) – это значит либо найти все ее решения, либо установить, что их нет. Опр.5. Система(1) наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение (в противном случае - несовместной). Опр.6. Система (1) наз. определенной, если имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений. Опр.7. Две системы наз. эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают. Опр.8. Элементарными преобразованиямисистемы (1) наз. следующие: 1) прибавление к одному уравнению любого другого уравнения, умноженного на какое-либо число; 2) умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля; 3) перестановка уравнений системы. Теорема 2. (Об элементарных преобразованиях системы) Элементарные преобразования системы линейных уравнений приводят ее к эквивалентной. Система (1) может быть записана в матричном виде: , где
наз. матрицей системы, вектор наз. столбцом свободных членов, вектор наз. столбцом неизвестных. Опр.9. Расширенной матрицей системы (1) наз. матрица . Теорема 3. (Теорема Кронекера-Капелли) Система (1) совместна в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы: . § 6 Методы решения систем линейных уравнений. Метод обратной матрицы Пусть в системе (1) т=п. Тогда матрица системы А является квадратной, и можно вычислить ее определитель. Если , то матрица А имеет обратную , и система может быть решена следующим способом: . ПР. имеет . ; (см. §3), , , . 6.2. Метод Крамера. Для (1) при условии m=n и введем обозначения: - определитель системы, ,…, . Теорема 4. (Формулы Крамера) Если определитель системы , то система имеет единственное решение, вычисляемое при любом векторе b по формулам: . (2) Формулы (2) наз. формулами Крамера. Замечание: 1) если , то система имеет единственное решение; 2) если и хотя бы один из , то система не имеет решения; 3) если и все , то система либо имеет бесконечное множество решений, которое можно найти с помощью метода Гаусса (см. п.6.3), либо не совместна. ПР. . ; . . Проверка. Метод Гаусса. Идея метода Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы уравнений (1) и перестановки столбцов матрицы А привести матрицу к следующему виду . (3) Тогда . Если среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то . Следовательно, система (1) не совместна по теореме Кронекера-Капелли. Если , то и, следовательно, система (1) совместна. Матрица (3) задает систему, эквивалентную (1): Переменные, отвечающие единичной подматрице матрицы А, т.е. , наз. базисными, остальные – небазисными или свободными. Опр. Решение системы (1), в котором все небазисные переменные равны нулю, наз. базисным.
Замечание. Для однородной системы и , т.е. однородная система всегда совместна и решение у нее есть всегда. Такое решение называется тривиальным. ПР.
= . система совместна; система имеет бесконечно много решений; , - базисные неизвестные, По виду составляем систему, эквивалентную данной:
ПР.
= . система совместна; система имеет бесконечно много решений. ПР.
система несовместна, т. е. не имеет решения.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|