Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Теорема 2. (Об элементарных преобразованиях матрицы)

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

Опр.5. Минором, окаймляющим минор матрицы А, наз. минор , содержащий минор .

Можно выделить два метода отыскания ранга матрицы:

а) с помощью окаймляющих миноров: если в матрице А имеется минор , а все окаймляющие его миноры , то ранг матрицы равен k;

б) с помощью элементарных. преобразований приводим матрицу к виду трапеции.

ПР. .

, все

Системы линейных алгебраических уравнений.

Опр.1. Системой m линейных уравнений с n неизвестными наз. система вида:

(1),

где -коэффициенты при неизвестных , - свободные коэффициенты (свободные члены), .

Опр.2. Система (1) наз. однородной при , .

Опр.3. Упорядоченный набор чисел наз. решением системы (1), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных в систему каждое уравнение обращается в верное равенство.

Опр.4. Решить систему (1) – это значит либо найти все ее решения, либо установить, что их нет.

Опр.5. Система(1) наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение (в противном случае - несовместной).

Опр.6. Система (1) наз. определенной, если имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Опр.7. Две системы наз. эквивалентными или равносильными, если множества их решений совпадают.

Опр.8. Элементарными преобразованиямисистемы (1) наз. следующие:

1) прибавление к одному уравнению любого другого уравнения, умноженного на какое-либо число;

2) умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;

3) перестановка уравнений системы.

Теорема 2. (Об элементарных преобразованиях системы)

Элементарные преобразования системы линейных уравнений приводят ее к эквивалентной.

Система (1) может быть записана в матричном виде: , где

наз. матрицей системы,

вектор наз. столбцом свободных членов,

вектор наз. столбцом неизвестных.

Опр.9. Расширенной матрицей системы (1) наз. матрица

Теорема 3. (Теорема Кронекера-Капелли)

Система (1) совместна в том и только в том случае, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:

§ 6 Методы решения систем линейных уравнений.

Метод обратной матрицы

Пусть в системе (1) т=п. Тогда матрица системы А является квадратной, и можно вычислить ее определитель. Если , то матрица А имеет обратную , и система может быть решена следующим способом:

ПР. имеет .

; (см. §3),

, , .

6.2. Метод Крамера.

Для (1) при условии m=n и введем обозначения:

- определитель системы,

,…, .

Теорема 4. (Формулы Крамера)

Если определитель системы , то система имеет единственное решение, вычисляемое при любом векторе b по формулам:

. (2)

Формулы (2) наз. формулами Крамера.

Замечание:

1) если , то система имеет единственное решение;

2) если и хотя бы один из , то система не имеет решения;

3) если и все , то система либо имеет бесконечное множество решений, которое можно найти с помощью метода Гаусса (см. п.6.3), либо не совместна.

ПР.

; .

. Проверка.

Метод Гаусса.

Идея метода Гаусса состоит в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк расширенной матрицы системы уравнений (1) и перестановки столбцов матрицы А привести матрицу к следующему виду

. (3)

Тогда .

Если среди чисел есть хотя бы одно, отличное от нуля, то . Следовательно, система (1) не совместна по теореме Кронекера-Капелли.

Если , то и, следовательно, система (1) совместна. Матрица (3) задает систему, эквивалентную (1):

Переменные, отвечающие единичной подматрице матрицы А, т.е. , наз. базисными, остальные – небазисными или свободными.

Опр. Решение системы (1), в котором все небазисные переменные равны нулю, наз. базисным.

Замечание. Для однородной системы и , т.е. однородная система всегда совместна и решение у нее есть всегда. Такое решение называется тривиальным.