Группа Ш. Аксиомы конгруэнтности

В «Началах» Евклида в учении о равенстве фигур основным понятием является понятие движения. Однако это Евклидом явно не формулируется, и свойства движения (неизменяемость формы и размеров фигур) не получают точного описания в аксиомах. По существу движение у Евклида непосредственно связано с пред­ставлением о механическом движении твёрдого тела. Такое понимание движения неизбежно связано с введением в геометрию чуждых понятий времени и скорости, а также предполагает рас­смотрение всех промежуточных положений фигуры.

В первой главе мы уже говорили о неприменимости такого по­нимания движения к геометрическим фигурам.

В учении о равенстве фигур время, скорость и путь движения никакой роли не играют, важно лишь начальное и конечное поло­жение фигуры.

Напомним также о той двойственной позиции, которую Евклид занимал, считая движение основным понятием и в то же время стремясь из философских соображений изгнать его из геометрии.

В современном научном изложении учение о равенстве фигур строится двумя способами: либо в качестве основного принимается понятие равенства или конгруэнтности, главные свойства которого описываются в аксиомах, и тогда понятие движения является про­изводным, определяемым; либо за основное принимается понятие движения, главные свойства которого явно формулируются в ряде аксиом, и тогда понятие равенства или конгруэнтности делается производным, определяемым.

Гильберт пошёл по первому пути, приняв в качестве основного понятие конгруэнтности или равенства. Поэтому в системе Гиль­берта понятие движения является производным и может быть со­вершенно исключено из геометрии, так каково используется в гео­метрии только для установления конгруэнтности фигур. При этом, конечно, Гильберт в понятие конгруэнтности не вкладывает ника­кого конкретного смысла, это может быть любое отношение между отрезками и углами, удовлетворяющее аксиомам третьей группы.

Что касается терминов «равенство» или «конгруэнтность», то предпочтительнее пользоваться вторым термином, ибо рассматри­ваемое понятие не обладает важнейшим свойством равенства: если к равным прибавить равные, то получатся равные. Так при рас­смотрении плоских или пространственных фигур мы не можем утверждать, что в случае конгруэнтности частей фигур будут кон­груэнтны и целые фигуры*).

Итак, вводим неопределяемое понятие «конгруэнтный» в при­менении к отрезкам и углам, свойства которого выражаются в сле­дующих аксиомах:

Ш.1 Если А и В — две точки прямой а и А' — точка на той же или другой прямой а', то существует на прямой а' по данную сторону от точки A' такая точка В', что отрезок АВ конгруэнтен отрезку А'В', что обозначает­ся знаком АВ=А'В'. Всегда АВ =ВА.

Короче говоря: «Каждый отрезок может быть «отложен» на лю­бой прямой в ту или другую сторону от любой её точки».

Заметим, что в аксиоме П^ утверждается лишь существование точки В', но ничего не говорится о её единственности, что будет доказано ниже.

Ш₂. Если АВ = А'В' и АВ^А"В", то А'В' = А"В".

Ш₃. Пусть АВ и BC — Два отрезка прямой а без общих внутренних точек и пусть А'В' и В'С' — два отрезка прямой а' (отлично и от а' или с ней совпа­дающей) также без общих внутренних точек. Если

АВ=А'В', ВС^В'С', то АС = А'С'.

Короче: «суммы» соответственно конгруэнтных отрезков также конгруэнтны.

Ш₄. Пусть дан угол (h, k) в плоскости а, а также определённая относительно прямой а' полупло­скость плоскости а', пусть К —луч прямой а', вы­ходящий из точки О'. Тогда на плоскости к' суще­ствует один и только один луч k', такой, что <(h, k) конгруэнтен угол (h', k') и при этом все внутреннее точки угол   (h', k') лежат в данной полуплоскости а'.

 

Короче говоря: «Каждый угол может быть однозначно отло­жен в' данной плоскости по данную сторону при данном луче».

Ш_.5. Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют место конгруэнции: АВ=А'В', AC= A' C', ^ ВАС == ^ В^’ А'С', т о ^ ABC = ^ А'В'С',

 Теоремы о конгруэнтности отрезков, углов и треугольников

Докажем прежде всего единственность точки В' в аксиоме Ш.1, а также свойства рефлективности и симметричности для конгруэнтности отрезков.

Теорема 5. 1. Точка В', о существовании которой говорится е аксиоме III₁— единственная.

Теорема 5. 2. Каждый отрезок конгруэнтен самому себе, т. е.
AB=BA (свойство рефлективности).
Доказательство:

По аксиоме III.3 AB^ВA и ВA=AВ. Предположим, что AВ^AВ; пусть AВ=AВ', где В'—точка луча ДВ. Тогда по аксиоме Ш₂ из AВ=ВA и АВ=АВ' следует, что ВA=AВ'. Но так как ВA= АВ, то по теореме 5.1 точка В' совпадает с точкой В, т. е. AВ=AВ.

Теорема 5.3. Если АВ=А'В', то и А'В'^АВ (свойство сим­метричности).

Доказательство:

Пусть AВ=A'В'. По теореме 5. 2 АВ=АВ. Следователь-то,

т.о аксиоме III₂ A'В'=AВ.

Поэтому можно говорить, что отрезки ДВ и Д'В' конгруэнт­ны друг другу.

 Теорема 5. 4. Если AВ=A'В' и A'В'=A"В", то ДВ=A"В". (свойство транзитивности в другой форме).

Теорема 5. 6. (Первая теорема о конгруэнтности треуголь­ников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 109) AВ=A'В', AС=A'С',      угол A=углуA', то AВС=A'В'С'

Т еорема 5. 7. (Вторая теорема о конгруэнтности треуголь­ников.) Если у двух треугольников ABC и А'В'С' имеем (черт. 110)

AВ=A'В', ^А=^А', ^В=^В', то AВС= A'В'С'.

 Теорема 5. 8. В равнобедренном треугольнике углы при осно­вании конгруэнтны.

Доказательство:

Пусть в треугольнике AВС имеем AС=ВС. Рассматриваем этот треугольник, как два треугольника: AВС и A'В'С', причём вершины последнего соответственно совпадают с верши­нами В, A, С данного. Тогда имеем: AС=A'С', ВС=В'С', ^AСВ=^ А'С'В'. Следовательно, по теореме 5. 6 AВС=A'В'С', а поэтому ^ВAС=^В'A'С', т. е. ^ВAС=^AВС.

Обратим внимание, что в этих доказательствах мы нигде не пользуемся «наложением» или «вращением», т. е. движением. Везде речь идёт о существовании соответствующих конгру­энтных отрезков или углов. Это полное отсутствие использова­ния понятия движения характерно и для всех прочих доказа­тельств.

Прежде чем получить доказательство третьего признака кон­груэнтности треугольников, придётся рассмотреть ряд других теорем.

Определение. Два угла, имеющие общую вершину и общую сторону, не общие стороны которых составляют одну прямую, называются смежными. Два угла с общей вершиной, стороны которых попарно составляют прямые линии, называются вертикальными.

  Теорема 5. 9. Если угол ^ (h, k) конгруэнтен углу (h'. k '), то и угол, смежный первому углу, конгруэнтен углу, смежному c вторым углом.

 Теорема 5. 10. Вертикальные углы конгруэнтны. Легко доказывается на основе теоремы 5. 9

 Теорема 5. 11, Пусть h, k, I и h ', k ', I ' — лучи, исходящие соответственно из точек О и О', и каждая из этих троек лучей расположена в одной плоскости; пусть при этом лучи h, k и h ', k ' расположены либо те и другие по одну сторону от луча I, соответственно /', либо те и другие — по разные стороны. Тогда из ^(h, l)==^(h ', Г) и -4(/, k)=^(t ', k) следует ^ (h, k) = = ^.(h ', k ').

Теорема 5. 12. (Третья теорема о конгруэнтно с-пи треуголь­ников.) Если у треугольников ABC и А'В'С'

А B = А' B', АС = А'С', ВС=В'С', то

треуг. ABC =треуг. A' B' C'

Теорема 5.13. Если ^ ( h. k) =^(h', k') и ^ (h, k)=^(h", k"),

mo ^ (h', k') = ^ (h", k").

 

Теорема 5. 16. Прямой угол существует. Доказательство:

 

Возьмём произвольный угол (A, k). По аксиоме Ш₄ по дру­гую сторону от луча А, нежели луч k, существует такой луч (черт. 116). Взяв на луче k некоторую точку A, мы можем на луче / найти такую точку В, что ОА^=

В е Черт. 116.

= ОВ (аксиома Ш^. По тео­реме 4. 7 отрезок AВ пересекает прямую, кото­рой принадлежит луч А. При этом возможны 3 слу­чая: либо точка пере­сечения С принадлежит лучу А, либо совпадает с его вершиной О, либо принадлежит лучу h, до­полнительному к А.

 

 

 

Теорема 5. 17.

12Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: