Теоремы о делении отрезка и угла пополам и другие

Теорема 5. 18. Каждый отрезок можно разделить пополам и притом единственным образом. Доказательство:

Теорема 5. 19. Каждый угол можно разделить пополам и при­том единственным образом.

Вводя далее обычные определения биссектрисы угла, а так­же медианы и высоты треугольника, мы можем доказать сле­дующие теоремы:

Теорема 5.20. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине есть медиана и высота.

Теорема 5.21. Через всякую точку плоскости проходит единственный перпендикуляр к данной прямой, лежащей в этой плоскости.

Далее можно доказать теоремы.

Теорема 5.22. Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они не пересекаются между собой.

Теорема 5.23. Если две прямые при пересечении с третьей образуют конгруэнтные соответственные или внутренние на­крест лежащие углы, то они не пересекаются.

Теорема 5. 24. Если в плоскости а. даны прямая а и не ле­жащая на ней точка А, то в плоскости а через точку А про­ ходит по меньшей мере одна прямая, не пересекающая прямой а.

Сравнение отрезков и углов

Для отрезков и углов можно ввести соотношения «больше» и «меньше» при помощи следующих определений.

Определение. Пусть даны два отрезка AВ и A'В'. Если существует такая внутренняя точка С отрезка AВ, что AС=A'В', то говорят, что отрезок А' В' меньше отрезка ЛВ или что отрезок AВ больше отрезка A'В', что записывается так: A'В'<AВ, AВ>A'В'.

Теорема 5. 25. а) Для всяких двух отрезков АВ и CD имеет место одно и только одно из трёх соотношений: либо AB= CD, либо AВ>СО, либо AВ<СО; б) Если AВ<A'В' и А'В'<А"В", то AВ<A"В" (свойство транзитивности).

Можно, далее, ввести понятие суммы и разности отрезков и доказать:

в) Если AВ = A'В', CD<C'D', то АВ + CD < А' B' +C'D';

г) Если AВ>СО, то  AВ> CD.

 

Такими же свойствами обладают понятия «большие», «меньше» в применении к углам. Затем вводим понятия «острый» и «ту­пой» углы.

Теорема о внешнем угле треугольника и другие

Теорема 5. 26. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла, с ним не смежного.

Теорема 5. 27. Если две стороны одного треугольника соот­ветственно конгруэнтны двум сторонам другого, а углы, заклю­чённые между этими сторонами, не конгруэнтны, то про­тив большего из этих углов лежит и большая сторона (и обрат­ная теорема).

Движение

Выше говорилось, что в системе Гильберта можно определить понятие движения как производное. Дадим теперь это определе­ние.

Определение. Движением называется такое преобразование пространства в самого себя, при котором всякий отрезок пре­образуется в конгруэнтный отрезок.

Нетрудно видеть, что определённое таким образом движение существенно отличается от механического движения, ибо время, скорость, промежуточные положения фигуры в этом определении не играют никакой роли, фиксируется лишь положение прообраза и образа. Коль скоро понятие конгруэнтности может иметь раз­личный смысл, то и понятие движения может получить различные конкретные истолкования.

III.1 Каждую т о ч к" у пространства движе­ние преобразует в точку того же про­странства,

III.₂. Если прямая а и л еж а щ а я на ней точ­ка А движением преобразуются  в прямую а и точку A', то точка А' лежит на прямой а'.

Заметим, что последовательное применение двух преобразо­ваний называется произведением этих преобразований.

III ₃. Совокупность всех движений обра­зует группу, т. е.:

а) Произведение двух движений есть так­
же движение.

б) Существует движение, при котором
каждая точка преобразуется сама в себя.
Такое движение   называется тождествен­ным и играет роль единицы группы движе­ний.

в) Для каждого движения существует об­
ратное движение, произведение которого
сданным движением даёт тождественное
движение.

г) Про из в еден и е движений ассоциативно, т. е. удовлетворяет сочетательному закону.

III₄ Если три точки A,_B, С, и з  которых В лежит между А и С, п р и движении преобра­зуются в точки А', В', С', то В' л е ж и т между А' и С.

III.5 Существует одно и только одно движе­ние, преобразующее данную точку A, определённый луч с вершиной в А и определён­ную полуплоскость относительно этого луча соответственно в другую данную точку у А', в определённый луч с вершиной в А' и в определённую полуплоскость относи­тельно этого луча

Ш.6 С у щ е с т в у е т движение, при котором отрезок АВ переходит в отрезок В А.

III.7 С у щ е с т в у е т   движение, при котором (h, k) п е р е х о д и т в (k, К).

III.8. Если точка О и исходящий из неё луч преобразуются движением в самих себя, то каждая точка этого луча преобразует­ся сама в себя.

При помощи предложений Ш',-8 можно далее доказать целый ряд других_теорем_£_движениях. Сформулируем некоторые из них:

1) Каждое движ е н и е преобразует прямую
в прямую, луч в луч, угол в угол, плоскость
в плоскость, полуплоскость в полупл-­
скость, полупространство в полупространство.

2) Любое движение можно свести к после-­
довательному осуществлению двух част-­
ных случаев движения: сдвига и вращения
около точки, т. е. любое движение можно
рассматривать  как произведение сдвига
и вращения.

3) Задание двух конгруэнтных тетраэд­-
ров вполне определяет движение, преоб­
разующее первый тетраэдр во второй, т. е.
положение пространственной  фигуры
вполне определяется четырьмя её точка­
ми, не лежащими в одной плоскости.

4)Заданием двух конгруэнтных треуголь­ника.

Определение. Две фигуры называются кон­груэнтными, если существует такое дви­жение, которое преобразует первую ф и гуру во вторую.

Таким образом, мы можем резюмировать связь между поняти­ями конгруэнтности и движения следующим образом: при на­личии аксиом Гильберта I—II аксиомы к о н­ груэнтности Гильберта III_1-5 и аксиомы движения Ш₁-₈ являются эквивалентными.

§ 6. ГРУППА IV (ПО ГИЛЬБЕРТУ V). АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ

Наше наглядное представление о прямой или окружности неразрывно связано с представлением об их непрерывности, т. е. с представлением об отсутствии у них «просветов.» или зияющих отверстий. Факт непрерывности прямой обладает для нас столь непосредственной и принудительной очевидностью, что в тече­ние всего многовекового развития геометрии вплоть до середины XIX столетия ни у кого не возникало и мысли, что понятие не­прерывности нуждается в логическом обосновании. Евклид в во­просах геометрии, связанных с понятием непрерывности, неизмен­но прибегал к очевидности чертежа, считая соответствующие факты геометрии само собой разумеющимися, о чём уже подробно говорилось в первой главе.

Между тем целый ряд вопросов и проблем геометрии не мог по­лучить строгого обоснования без точной логической формулировки понятия непрерывности. Таковы, например, упоминавшиеся уже нами вопросы о пересечении окружности с прямой и окружностью. Нельзя было также логически обосновать такую важнейшую про­блему геометрии, как теорию измерения отрезков, углов, пло­щадей и объёмов. Аналитическая геометрия, исходящая в своём координатном методе из идеи непрерывности прямой и из взаимно однозначного соответствия _, между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, также, начиная с Декарта, строилась исключительно на данных наглядного представления, а не на логических основаниях. В связи с последним обстоятель­ством в математическом анализе имело место такое положение, что при отсутствии строгой теории действительного числа весь анализ фактически держался на шатком фундаменте наглядных представлений о прямой. С одной стороны, при доказательстве многих теорем о пределах и непрерывности ссылались на непрерывность геометрических образов, иллюстрирующих соответ-

ствующие понятия анализа; с другой стороны, непрерывность самих этих геометрических образов сводилась к нашим смутным пред-

ставлениям, не получившим точной математической формулировки

в аксиомах.

 Таким образом, вся теория пределов и связанная с ней непре­рывность функции была в логическом отношении построена «на песке».

Первый, кто поставил этот вопрос и дал точную формулировку сущности понятия непрерывности, был Дедекинд (1831—1916)*). Он поставил и разрешил две задачи: 1) в своей известной аксиоме он дал точную логическую формулировку понятия непрерывности прямой и этим создал надёжную основу для дальнейших умозаклю­чений геометрии; 2) независимо от геометрии он построил чисто арифметическую теорию иррациональных чисел исключительно на основе свойств системы рациональных чисел и тем самым осво­бодил анализ от необходимости апеллировать к наглядным геомет­рическим представлениям, ибо теперь свойства системы действи­тельных чисел становились логическими следствиями общего определения действительного числа.

   С этого момента были поставлены на строго логическую почву все чисто геометрические построения, связанные с непрерывностью прямой, вся теория измерений в геометрии и все здание анали­тической геометрии и математического анализа (теория пределов).

  Вскоре после Дедекинда понятие непрерывности получило логическую обработку в других формах в работах Вейерштрасса и Г. Кантора. Гильберт в своих «Основаниях геометрии» выразил непрерывность прямой в виде, отличном от указанных теорий. *//Гильберт в своей системе не пользуется аксиомой Дедекинда, / а вместо неё вводит две.аксиомы — аксиому Архимеда и так называемую аксиому полноты, которые в своей совокупности экви­валентны аксиоме Дедекинда относительно аксиом I—III групп. Мы в своём изложении будем исходить из аксиомы Дедекинда. Аксиома Дедекинда формулируется так:

IV. Если все точки отрез к а АВ, включая и его концы, распределены на два класса так, что:

1) каждая точка отрезка принадлежит одному и только одному из этих классов,
точка Л принадлежит первому классу,
а точка В — второму классу;

каждая точка первого класса, отлич­ная от А, л е ж и т между A и

л ю б о й т о ч к о и в т о рого класса, т о на отрезке АВ

су щеотвует одна и только одна такая точка С, что в с я-
кая точка, лежащая между A и С,  п р и я а д л е ж и т первому классу, а  всякая точка, лежащая между С и В, принадлежит второму классу. Сама точка С принадлежит либо
первому, либо второму класс у.               !

 

(Не исключено, что точка С может совпасть с одной из точек А или В.)

 

Точка С называется точкой пограничной между двумя классами; говорят также, что точка С определяет дедекиндово сечение отрезка (дедекиндова точка). \

Замечания: 1) Строго говоря, требование единст­венности точки С является лишним, ибо может быть дока­зано. Действительно, допустим, что имеется ещё одна точка С_1; производящая сечение отрезка,4В, и для определённости предпо­ложим, что С лежит между А и С₁ Так как Q лежит между А и В, то по теореме 4.4 точка С лежит также между С и В.   Пусть, теперь M — любая точка, лежащая внутри отрезка СС1 По тео­реме 4-4 эта точка М лежит между А и С _х,

т. е. попадает в пер­вый класс; но по той же теореме М лежит между С и В и, зна­чит, относится ко второму классу. Полученное противоречие и доказывает единственность точки С.

2) В условии аксиомы IV говорится, что каждая точка первого
класса, отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой
второго класса Можно доказать, что каждая точка

 вто­рого класса, отличная от В, лежит между В
и любой точкой первого класса.

В самом деле, пусть Y есть некоторая точка второго класса и X — любая точка первого класса. По условию аксиомы точка X ле­жит между   А и Y, в то же время Y лежит между A и В; сле­довательно, по теореме 4.4 точка Y лежит между X и В.

3) Далее, можно доказать, что ни одна
точка одного из классов не лежит между
к а к о й - л ибо парой точек другого класса. Действительно, допустим, что точка Y второго класса лежит между точками Х₁ и X₂ первого класса. Тогда по условию аксио­мы Х₁ лежит между A и К, а К по допущению лежит между X ₁ и .₂, отсюда по теореме 4.3 Y лежит между А и Х_а, т. е Х₂ не лежит между А и Y (теорема 4.2). Но, с другой стороны, точка первого класса Х₂ по условию аксиомы лежит между А и У. По­лученное противоречие и доказывает требуемое.

4) Заметим, наконец, что аксиому Дедекинда можно
высказать для всей прямой, для чего достаточно
к первому классу дополнительно отнести все точки прямой, лежа­щие относительно А по другую сторону, нежели Б, а ко второму
классу — все точки прямой, лежащие относительно В по другую
сторону, нежели A.

 

Из аксиомы Дедекинда можно вывести два фундаментальных предложения — постулат Архимеда и принцип Кантора.

IV.1. (Постулат Архимеда.) Пусть АВ и CD — д в а произвольных отрезка и  пусть на  луче AВ  с  вершиной в A взяты точки A1, A ₂, A₃,..., р а с п оложенные- так, что A₁ лежит между A и A₂, т очка A2  лежит между A₁иA₃ и т. д., причём о т-езки AA₁, А1А2, A₂A₃,... конгруэнтны отрезу   CD. Тогда существует такой номер п, что точка С  лежит между A и A1

Если воспользоваться понятиями «меньше» и «больше», то по­стулат Архимеда можно высказать следующим образом.   Каковы бы ни были отрезки  A В и CD, в с е г д а м о ж н о на прямой последовательно отло­вить отрезок CD   только раз. чтобы полу­денный отрезок был больше отрезка A В.   Если мы полученный отрезок AA1 обозначим в виде произве­дения CD, то постулат Архимеда можно ещё выразить так:

 

Каковы бы ни были отрезки АВ и CD, существует такое натуральное число п, что nCD> AВ.

IV.2. (Принцип вложенных отрезков Кан­тора.)

Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная последовательность отрез­ков A_v В_г, A₂В₂, A₃В₃,..., и з  которых каждый по­следующий лежит внутри предыдущего, пусть при этом не существует отрезка. лежащего внутри всех отрезков данной последовательности. Тогда на прямой а существует одна я только одна точка Z, ле­жащая внутри всех отрезков А₁В_1> A₂B₂, A₃В₃,...

Замечание. Если принять принцип Кантора за аксиому, то, строго говоря, в предложении 1V₂ достаточно утверждать су­ществование по крайней мере одной точки Z, ибо единствен­ность этой точки может быть доказана

В самом деле, допустим, что существуют две различные точки Z_l и Z₂, лежащие внутри всех отрезков A,В, (1,2,3,...) В та­ком случае легко доказать, что все точки отрезка Z_lZ. _i лежат вну­три всех этих отрезков A,В,, или, иначе говоря, отрезок Z_XZ, лежит внутри всех этих отрезков, что противоречит условию принципа Кантора

 

Теорема 6.1. Из аксиом Гильберта I —/// ц аксиомы Дедекинда
вытекает постулат Архимеда.                                     

Теорема  6. 2. Из аксиом Гильберта I —/// и аксиомы Дедекинда вытекает принцип Кантора.

  Теорема 6. 3. Из аксиом Гильберта I —/// и предложения Архимеда IV.1 и Кантора IV.2  вытекает предложение Дедекинда IV

Теорема 6. 4. Аксиома Дедекинда при наличии аксиом I —/// эквивалентна совокупности двух аксиом, аксиомы Архимеда и ак­сиомы Кантора

Теорема 6. 5. (Предложение Дедекинда для углов.) Если все внутренние лучи, выходящие из вершины 0^(h, k), а также лучи h k распределены, на два класса так, что:

1) каждый луч принадлежит одному и только одному из классу, луч h принадлежит первому классу, а луч k — второму;

2) каждый луч первого класса, отличный от h, лежит между h и любым лучом второго класса, то существует один и только один такой пограничный луч I, что всякий луч, лежащий между h и I, принадлежит первому классу, а всякий луч, лежащий между I и k, принадлежит второму классу. Сам луч I принадлежит либо первому, либо второму классу.

Все замечания, сделанные в отношении аксиомы Дедекинда для отрезков, сохраняют свою силу и для углов.

 

Доказательство:

>, Пусть отрезок АВ (черт. 121) соединяет точки Л и В, взятые соответственно на лучах h и k. По теореме 4. 10 лучи, лежащие между h и k, пересекают отрезок АВ во внутренних его точках. Ставя друг другу и соответствие внутренний луч с точкой его пересечения с отрезком АВ, мы приведём во взаимно однозначное соответствие множество всех внутренних лучей ^ (h, k) с множеством всех точек отрезка АВ с сохране­нием одинакового взаимного расположения тех и других. При этом разбиению лучей на    Черт. 121. два класса будет соответствовать разбиение

точек отрезка АВ на два класса, удовлетворяющее условиям аксиомы Дедекинда. Поэтому на отрезке АВ существует единст­венная точка L, производящая сечение. Луч I проходящий через точку L, и будет пограничным лучом.

Формулировку предложений Архимеда и Кантора для углов предоставляем читателю.

Как уже говорилось в начале настоящего параграфа, аксиомы непрерывности вместе с аксиомами I—III дают возможность ре­шить проблему измерения отрезков и углов, а также установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек прямой и множеством всех вещественных чисел, что позволяет установить несчётность множества точек прямой и обосновать введение координат на прямой, плоскости и в пространстве. Оставляя рассмотрение всех этих вопросов до главы IV, оста­новимся на доказательстве теоремы о пересечении окружности с прямой.

Теорема 6.6. Прямая, лежащая в одной плоскости с окруж­
ностью и проходящая через внутреннюю точку k окружности, пе­-
ресекает эту окружность в двух точках.                   

Теорема 6. 7. Если две окружности лежат в одной плоскос mu, причём одна из них проходит через внутреннюю и внешнюю точки к другой, то эта окружности пересекаются в двух, точках

Теорема 6. 8. Для каждого отрезка АВ, каково бы ни было натуральное число п, существует такой отрезок AD, что

n*AD=AB или AD*1/n *AB

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: