 |
Тестовые задания для самостоятельного решения
|
|
|
|
ТЗ 1. Легкое. В урне 5 белых, 3 черных и 2 красных шара, из которых извлекают 3. Вероятность того, что все они красные, равна…
а) £ 
б) £ 
в) £ 
г) £ 
д) £ 
ТЗ 2. Средней трудности. Наугад выбирается двузначное число. Вероятность того, что в нем не содержится цифры 9, равна…
а) £ 
б) £ 
в) £ 
г) £ 
д) £ 
ТЗ 3. Трудное. В урне 5 белых, 3 черных и 2 красных шара, из которых извлекают 3. Вероятность того, что все они разных цветов, равна…
а) £ 
б) £
в) £
г) £ 
д) £
ТЗ 4. Повышенной трудности. В стопке 10 тетрадей. Из них 6 в клетку, остальные в линию. Из стопки наугад выбирают сразу две тетради. Вероятность того, что они обе в клетку, равна …
а) £
б) £ 
в) £ 
г) £ 
д) £ 
ТЗ 5. Средней трудности. Двое договариваются о встрече в определенном месте, которая должна произойти в промежутке времени от 4 часов до 4 часов и 20 минут. Каждый из договаривающихся приходит к месту встречи в любой наугад взятый момент времени из этого промежутка времени и ждет другого 4 минут (в пределах указанного промежутка времени). Вероятность, что встреча состоится равна...
а) £ 1/5
б) £ 1/9
в) £ 1/36
г) £ 1/15
д) £ 9/25
Тема 2. Комбинаторика. Бином Ньютона
Основные определения
Определение 2.1. Число сочетаний. Если требуется выбрать k объектов из n имеющихся, с учетом их порядка, для расчета количества способов выбора удобно пользоваться формулой числа сочетаний 
.
Определение 2.2. Число 
определяет количество перестановок из n объектов.
Примеры решения тестовых заданий
Определение 2.3.
Пример 5. Дано 4 точки. Число прямых, которые можно провести через них, если известно, что никакие три из этих точек не лежат на одной прямой, равно…
|
|
|
Решение 5. Есть два способа решения этой задачи. Первый способ заключается в том, чтобы непосредственно сосчитать все варианты. Для того чтобы провести прямую требуется две точки. Мысленно перенумеруем точки числами от 1 до 4. Выберем в качестве первой точки точку номер 1. Существует три прямые, которые можно провести через данную точку – это прямые 1-2, 1-3, 1-4. Теперь выберем в качестве первой точки точку номер 2. Есть две прямые, которые через нее проходят и отличаются от предыдущих 3-х – это прямые 2-3 и 2-4 (прямая 2-1 уже была). И, наконец, если выбрать в качестве первой точки точку номер 3, останется только одна прямая – 3-4. В итоге, ответ 3 + 2 + 1 = 6. Второй способ основан на использовании числа комбинаций 
(Определение 1.11), поскольку порядок выбора точек не важен. Ответ 
.
Пример 6. Количество двузначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что каждая цифра в нем встречается только один раз, равно...
Решение 6. Первый способ решения – это непосредственный подсчет. В двузначном числе имеется два разряда. В первом разряде может стоять одна из пяти имеющихся цифр, поэтому перебирая их, мы получим 5 различных двузначных чисел. Перейдем ко второму разряду. Поскольку одна из цифр у нас уже занята под первый разряд, остается 4 варианта заполнения второго разряда. На каждый вариант заполнения первого разряда имеется 4 варианта заполнения второго. Итого получаем 
различных двузначных чисел. Второй способ решения использует число сочетаний 
(Определение 2.1), т.к. порядок цифр в числе важен. Ответ 
.
Пример 7. Количество способов выбора из 6 человек группы людей для работы, если группа должна состоять не менее чем из 5 человек, равно...
Решение 7. Не менее чем 5 означает, что для работы требуется выбрать 5 или 6 человек. 5 человек из 6 можно выбрать шестью способами (есть 6 вариантов оставить одного человека) и 6 человек из 6 можно выбрать только одним способом. Ответ 6 + 1 = 7.
|
|
|
Пример 8. Количество таких шестизначных чисел, которые начинаются с цифры 1, заканчиваются на 0, а все остальные их цифры различны и не меньше 5, равно…
Решение 8. В шестизначном числе по условию задачи имеется четыре незанятых разряда. Цифры «не меньшие 5» – это 5, 6, 7, 8, 9. Действуя по аналогии с примером 6, сразу получаем ответ 
.
|
|
|
