 |
Алгоритмы разветвленной структуры
|
|
|
|
Алгоритмы разветвленной структуры применяются, когда в зависимости от некоторого условия необходимо выполнить либо одно, либо другое действие. В блок-схемах разветвленные алгоритмы изображаются так, как показано на рис. 1.10 - 1.11.
| 
|
| Рис. 1.10 Фрагмент алгоритма | Рис. 1.11 Пример разветвления |
Рассмотрим несколько примеров построения алгоритмов разветвленной структуры.
ПРИМЕР 1.4. Известны коэффициенты и с квадратного уравнения. Вычислить корни квадратного уравнения.
Входные данные: a, b, c.
Выходные данные: x1, x2.
Блок-схема представлена на рис. 1.5.
ПРИМЕР 1.5. Составить программу нахождения действительных и комплексных корней квадратного уравнения. Можно выделить следующие этапы решения задачи:
1. Ввод коэффициентов квадратного уравнения a, b и c.
2. Вычисление дискриминанта d по формуле d = b2 - 4ас.
3. Проверка знака дискриминанта. Если d >= 0, то вычисление действительных корней по формуле 1.1 и вывод их на экран.
| (1.1) |
4. При отрицательном дискриминанте выводится сообщение о том, что действительных корней нет, и вычисляются комплексные корни.Комплексные числа записываются в виде a + ib (формула 1.2):
| (1.2) |
5. a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа.У обоих комплексных корней действительные части одинаковые, а мнимые отличаются знаком. Поэтому можно в переменной x1 хранить действительную часть числа -b/2a, в переменной x2 - модуль мнимой части 
, а в качестве корней вывести x1+ix2 и x1-ix2.
На рис. 1.12 изображена блок-схема решения задачи. Блок 1 предназначен для ввода коэффициентов квадратного уравнения. В блоке 2 осуществляется вычисление дискриминанта. Блок 3 осуществляет проверку знака дискриминанта, если дискриминант отрицателен, то корни комплексные, их расчет происходит в блоке 4 (действительная часть корня записывается в переменную x1, модуль мнимой - в переменную x2), а вывод - в блоке 5 (первый корень x1 + i x2, второй - x1- i x2). Если дискриминант положителен, то вычисляются действительные корни уравнения (блок 6) и выводятся на экран (блок 7).
|
|
|
|
| Рис. 1.12. Блок-схема решения квадратного уравнения |
ПРИМЕР 1.6. Заданы коэффициенты a, b и с биквадратного уравнения ах4 + bх2 + с = 0. Решить уравнение.
Для решения биквадратного уравнения необходимо заменой y = x2 привести его к квадратному и решить это уравнение.
Входные данные: a, b, c. Выходные данные: х1, х2, х3, х4.
Блок-схема представлена на рис. 1.13. Алгоритм состоит из следующих этапов:
1. Вычисление дискриминанта уравнения d.
2. Если d >= 0, определяются y1 и y2, а иначе корней нет.
3. Если y1, y2 < 0, то корней нет.
4. Если y1, y2 >= 0, то вычисляются четыре корня по формулам 1.3 и выводятся значения корней.
| (1.3) |
5. Если условия 3) и 4) не выполняются, то необходимо проверить знак y1. Если y1 >= 0, то вычисляются два корня по формуле 1.4. Если же y2 >= 0, то вычисляются два корня по формуле 1.5. Вычисленные значения корней выводятся.
|
|
| Рис. 1.13. Алгоритм решения биквадратного уравнения |
Еще раз обратимся к алгоритмам на рис. 1.5, 1.12, 1.13. Нетрудно заметить, что если a принимает значение 0, алгоритмы не работают (ведь на 0 делить нельзя). Это - недостаток алгоритмов. Его можно избежать, если проверять значение переменной a сразу после ввода. Алгоритмы такой проверки приведены ниже. В первом случае (рис. 1.14), если введенное значение переменной a = 0, выполнение вычислительного процесса сразу же прекращается. Алгоритм, изображённый на рис. 1.15, позволяет при нулевом значении а повторить ввод переменной. Этот процесс будет продолжаться до тех пор, пока а не станет отличным от нуля. Подобные алгоритмы называются циклическими.
|
|
|
Внимание!!! Перед вычислением значения математического выражения это выражение следует проанализировать: для всех ли значений переменных его можно вычислить. В алгоритме необходимо предусмотреть предварительную проверку переменных на значения, для которых выражение не может быть определено. Если, например, требуется вычислить корень четной степени, то нужно перед вычислением проверить подкоренное выражение - оно не должно принимать отрицательные значения, а в случае с дробью - проверить знаменатель на 0. В блок-схеме такие проверки реализуются с помощью условного блока. Отсутствие таких проверок в программе может привести к критическим ошибкам.
| 
|
| Рис. 1.14. Проверка входных данных | Рис. 1.15. Повторение ввода переменной а |
ПРИМЕР 1.7. Решить кубическое уравнение ax3+ bx2 + cx + d=0. Кубическое уравнение имеет вид
| ax3 + bx2 + cx + d = 0 | (1.6) |
После деления на a уравнение (1.6) принимает канонический вид:
| x3 + rx2 + sx + t = 0 | (1.7) |
где r = b/a, s = c = a, t = d/a. В уравнении (1.7) сделаем замену x = y - y/3 и получим приведенное уравнение (1.8)
| y3 + py + q = 0 | (1.8) |
| где | 
| 
|
| Число действительных корней приведенного уравнения (1.8) зависит от знака дискриминанта | 
| (табл. 1.1). |
| Табл. 1.1. Количество корней кубического уравнения | ||
| Дискриминант | Количество действительных корней | Количество комплексных корней |
| D > = 0 | ||
| D < 0 | — |
Корни приведенного уравнения могут быть рассчитаны по формулам Кардано (1.9).
| (1.9) |
| где | 
|
При отрицательном дискриминанте уравнение (1.6) имеет 3 действительных корня, но они будут вычисляться через вспомогательные комплексные величины. Чтобы избавиться от этого, можно воспользоваться формулами (1.10)
| 
| 
| (1.10) |
Таким образом, при положительном дискриминанте кубического уравнения (1.8) расчет корней будем вести по формулам (1.9), а при отрицательном - по формулам (1.10). После расчета корней приведенного уравнения (1.8) по формулам (1.9) или (1.10) необходимо по формуле xk = yk - y/3, где k = 1, 2, 3 перейти к корням заданного кубического уравнения (1.6).
Блок-схема решения кубического уравнения представлена на рис. 1.17.
Описание блок-схемы. В блоке 1 вводятся коэффициенты кубического уравнения, в блоках 2-3 рассчитываются коэффициенты канонического и приведенного уравнений. Блок 4 предназначен для вычисления дискриминанта. В блоке 5 проверяется знак дискриминанта кубического уравнения. Если он отрицателен, то корни вычисляются по формулам (1.10) (блоки 6-7). При положительном значении дискриминанта расчет идет по формулам (1.9) (блок 9). Блоки 8 и 10 предназначены для вывода результатов на экран.
|
|
|
|
|
|
|
