Теорема 1. Критерий собственных чисел (для матриц).
Характеристический многочлен матрицы.
Определение 1. Пусть
- квадратная матрица порядка
, элементы которой вещественные или комплексные числа.
Характеристическим многочленом матрицы
называют многочлен, равный определителю матрицы
. Этот многочлен будем обозначать так:
, т.е.
или

Как следует из определения определителя
- го порядка, степень характеристического многочлена квадратной матрицы равна её порядку. Следовательно, характеристический многочлен матрицы
имеет вид:
. Произведение
является
единственным из
! слагаемых определителя матрицы
, содержащим
и
. Следовательно,
. Сумму
называют следом матрицы
и обозначают так:
. Таким образом,
. Положим
. Тогда
.
Существуют формулы, выражающие и остальные коэффициенты характеристического многочлена через элементы матрицы
.
Пример 1. Найдём характеристический многочлен матрицы
.
Воспользуемся определением:
. Результат вычисления согласуется с формулами, полученными для коэффициентов характеристического многочлена:
.
Определение 2. Пусть
- квадратная матрица порядка
, элементы которой вещественные или комплексные числа,
- многочлен с вещественными или комплексными коэффициентами.
Значением многочлена
от матрицы
называют матрицу, обозначаемую
и такую, что
, где
- единичная матрица порядка
.
Пример 2. Найдём значениемногочлена
от матрицы
из примера 1.

Итак,
. Это равенство верно и для любой квадратной матрицы. Это утверждение, называемое теоремой Гамильтона-Кэли, приведём без доказательства.
Теорема 1. (Гамильтона-Кэли для матриц).
Значением характеристического многочлена
от квадратной матрицы
является нулевая матрица, т.е.
.
Определение 3. Пусть
и
- квадратные матрицы порядка
, элементами которых являются вещественные или комплексные числа.
Будем говорить, что матрица
подобна матрице
(обозначение
), если существует такая неособенная матрица
порядка
, что справедливо равенство 
Лемма 1. Отношение подобия является отношением эквивалентности, т.е. это отношение обладает тремя свойствами:
1.
(рефлексивность).
2. Если
, то и
(симметричность).
3. Если
и
, то
(транзитивность).
Доказательство. 1.
.
2. Если
, то
, и
.
3. Если
и
, то
.
Лемма 2. Характеристические многочлены подобных матриц равны, т.е. если
, то
.
Доказательство. Пусть
, т.е.
. Отсюда следует: 
Замечание. Может оказаться, что
, но матрицы
и
не являются подобными.
Например, если
, а матрица
, то
. Однако, матрицы
и
не являются подобными. Если
, то 
т.к.
. Однако
.
Собственные числа и собственные векторы матрицы.
Определение 1. Пусть
- квадратная матрица порядка
, элементы которой вещественные (или комплексные) числа. Число
будем называть собственным числом матрицы
, если найдётся такой ненулевой вещественный (или комплексный) столбец
высоты
, для которого выполняется равенство
.
В этом случае столбец
называют собственным вектором матрицы
, соответствующим собственному числу
.
Замечание. Собственные числа называют также собственными значениями или характеристическими числами матрицы
. Собственные векторы называют также собственными столбцами матрицы 
Теорема 1. Критерий собственных чисел (для матриц).
Для того чтобы число
K было собственным числом матрицы
(K), необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического многочлена этой матрицы, т.е.
(
- собственное число матрицы
)
.
Доказательство. Из определения 1 следует, что число
является собственным числом матрицы
тогда и только тогда, когда найдётся такой ненулевой столбец
высоты
с элементами из K, для которого выполняется равенство
. Последнее равенство, очевидно, эквивалентно следующему:
. Таким образом, это утверждение равносильно тому, что система линейных алгебраических уравнений
имеет ненулевое решение
. По теореме 2 §1главы IY
это возможно тогда и только тогда, когда определитель этой системы равен нулю, т.е.
, а это и означает, что
. Таким образом число
- корень характеристического многочлена матрицы
.
Это доказательство можно записать с помощью символов:
(
-собственное число матрицы
)
K
,
, т.ч.
) 
K
,
, т.ч.
)
(
имеет ненулевое решение) 
корень характеристического многочлена матрицы
).
Определение 2. Совокупность всех собственных чисел матрицы
(K) с учётом их кратности как корня характеристического многочлена, будем называть спектром матрицы
, и обозначать так:
.
Пример 1. Найдём собственные числа, собственные векторы и спектр матрицы
.
Найдём характеристический многочлен этой матрицы: 
Следовательно, нашли спектр матрицы
:
.
Теперь найдём собственные векторы этой матрицы.
1) Сначала найдём собственные векторы, соответствующие собственному числу
.
Для этого нужно найти ненулевые решения системы линейных алгебраических уравнений
(1).
Решим систему (1) методом Гаусса в матричной форме:

Следовательно, система (1) равносильна системе
.
Положим
. Тогда:
. Таким образом, собственный вектор матрицы
, соответствующий собственному числу
, имеет вид:
, где
.
2) Теперь найдём собственные векторы, соответствующие собственному числу
.
Для этого нужно найти ненулевые решения системы линейных алгебраических уравнений
(2).
Положим
. Тогда
. Таким образом, собственный вектор матрицы
, соответствующий собственному числу
, имеет вид:
, где числа
и
не равны нулю одновременно.
Лемма. Ненулевая линейная комбинация собственных векторов матрицы
, соответствующих одному и тому же собственному числу
, является собственным вектором этой матрицы, соответствующим этому собственному числу.
Доказательство. Пусть
- собственные векторы матрицы
(K), соответствующие одному и тому же собственному числу
K, т.е.
. Пусть
K и пусть
. Тогда отсюда следует, что 

, причём
. Следовательно,
является собственным вектором матрицы
, соответствующим собственному числу
.
Без доказательства приведём формулировку основной теоремы высшей алгебры.
Воспользуйтесь поиском по сайту: