Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Теорема 2. (Основная теорема высшей алгебры.)




Для любого многочлена с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы (т.е. отличного от постоянной) найдётся по крайней мере один комплексный корень, т.е. если C для , , то существует такое комплексное число C, что .

Следствие. Любой многочлен с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы может быть записан следующим образом: , где - старший коэффициент, - степень этого многочлена, C для .

 

Теорема 3. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами найдётся по крайней мере один собственный вектор.

Доказательство. Пусть (C). Тогда - многочлен с комплексными коэффициентами, степень которого равна натуральному числу . По основной теореме высшей алгебре у этого многочлена существует по крайней мере один корень , который по теореме 1 является собственным числом матрицы . Из определения 1 следует, что найдётся такой ненулевой комплексный столбец высоты , для которого выполняется равенство , т.е. - собственный вектор матрицы , соответствующим собственному числу .

 

Теорема 4. Все собственные числа вещественной симметричной матрицы являются вещественными числами, т.е. если (C), то , где R,

.

Доказательство. Как следует из определения 1§4, степень характеристического многочлена равна порядку матрицы , т.е. . Из следствия к основной теореме высшей алгебры получаем:

, где C для . Покажем, что R для .

Напомним, что любое комплексное число, в частности , может быть записано в алгебраической форме: , где R, а -мнимая единица. Тогда число является комплексно сопряжённым с . Если , то и R.

Фиксируем такое, что . Из теоремы 1 следует, что - собственное число матрицы , т.к. является корнем её характеристического многочлена. Следовательно, по определению 1 существует собственный вектор C матрицы , соответствующий собственному числу , т.е. , причём . Пусть . Теперь подсчитаем двумя способами число :

1)

, где R, , т.к. .

2)

. Здесь , т.к. - вещественная симметричная матрица.

Итак, . Следовательно, , откуда получаем, , т.к. .

Таким образом, R, и теорема доказана.

Замечание. Поясним обозначения, использованные в доказательстве теоремы. Если , то

- это матрица того же строения с элементами . Здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения.

Кроме того, в доказательстве использовано утверждение, которое легко доказать самостоятельно, а именно:

если и две матрицы с комплексными элементами, для которых определено произведение , то .

 

Следствие. Для любого собственного числа вещественной симметричной матрицы существует вещественный собственный вектор, соответствующий этому собственному числу.

Доказательство. Действительно, в этом случае собственный вектор является решением системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами.

 

Определение 3. Два вещественных столбца и одинаковой высоты будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение: , т.е.

.

Два вещественные строки и одинаковой длины будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение: , т.е.

.

 

Пример 2. Столбцы и ортогональны, т.к. .

Строки и ортогональны, т.к. .

 

Теорема 5. Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.

Доказательство. Пусть - вещественная симметричная матрица, - её собственные числа, причём . Столбцы и - собственные векторы матрицы , соответствующие собственным числам и . Следовательно, и , причём . Мы хотим доказать, что .

Подсчитаем двумя способами число :

1)

2)

Итак, , причём . Следовательно, и .

Пример 3. В примере 1 было показано, что любой собственный вектор матрицы , соответствующий собственному числу , имеет вид , где .

Любой собственный вектор той же матрицы, соответствующий собственному числу , имеет вид

, где числа и не равны нулю одновременно.

Подсчитаем число . Следовательно, результат вычисления согласуется с теоремой 5, и .

 

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...