Теорема 2. (Основная теорема высшей алгебры.)
Для любого многочлена с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы (т.е. отличного от постоянной) найдётся по крайней мере один комплексный корень, т.е. если
C для
,
, то существует такое комплексное число
C, что
.
Следствие. Любой многочлен
с комплексными коэффициентами степени большей или равной единицы может быть записан следующим образом:
, где
- старший коэффициент,
- степень этого многочлена,
C для
.
Теорема 3. Для любой квадратной матрицы с комплексными элементами найдётся по крайней мере один собственный вектор.
Доказательство. Пусть
(C). Тогда
- многочлен с комплексными коэффициентами, степень которого равна натуральному числу
. По основной теореме высшей алгебре у этого многочлена существует по крайней мере один корень
, который по теореме 1 является собственным числом матрицы
. Из определения 1 следует, что найдётся такой ненулевой комплексный столбец
высоты
, для которого выполняется равенство
, т.е.
- собственный вектор матрицы
, соответствующим собственному числу
.
Теорема 4. Все собственные числа вещественной симметричной матрицы являются вещественными числами, т.е. если
(C), то
, где
R,
.
Доказательство. Как следует из определения 1§4, степень характеристического многочлена
равна порядку матрицы
, т.е.
. Из следствия к основной теореме высшей алгебры получаем:
, где
C для
. Покажем, что
R для
.
Напомним, что любое комплексное число, в частности
, может быть записано в алгебраической форме:
, где
R, а
-мнимая единица. Тогда число
является комплексно сопряжённым с
. Если
, то
и
R.
Фиксируем
такое, что
. Из теоремы 1 следует, что
- собственное число матрицы
, т.к. является корнем её характеристического многочлена. Следовательно, по определению 1 существует собственный вектор
C
матрицы
, соответствующий собственному числу
, т.е.
, причём
. Пусть
. Теперь подсчитаем двумя способами число
:
1) 
, где
R,
, т.к.
.
2) 
. Здесь
, т.к.
- вещественная симметричная матрица.
Итак,
. Следовательно,
, откуда получаем,
, т.к.
.
Таким образом,
R, и теорема доказана.
Замечание. Поясним обозначения, использованные в доказательстве теоремы. Если
, то
- это матрица того же строения с элементами
. Здесь черта обозначает операцию комплексного сопряжения.
Кроме того, в доказательстве использовано утверждение, которое легко доказать самостоятельно, а именно:
если
и
две матрицы с комплексными элементами, для которых определено произведение
, то
.
Следствие. Для любого собственного числа вещественной симметричной матрицы существует вещественный собственный вектор, соответствующий этому собственному числу.
Доказательство. Действительно, в этом случае собственный вектор является решением системы линейных алгебраических уравнений с вещественными коэффициентами.
Определение 3. Два вещественных столбца
и
одинаковой высоты будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение:
, т.е.
.
Два вещественные строки
и
одинаковой длины будем называть ортогональными, если сумма произведений их соответствующих элементов равна нулю. Обозначение:
, т.е.
.
Пример 2. Столбцы
и
ортогональны, т.к.
.
Строки
и
ортогональны, т.к.
.
Теорема 5. Собственные векторы вещественной симметричной матрицы, соответствующие различным собственным числам, ортогональны.
Доказательство. Пусть
- вещественная симметричная матрица,
- её собственные числа, причём
. Столбцы
и
- собственные векторы матрицы
, соответствующие собственным числам
и
. Следовательно,
и
, причём
. Мы хотим доказать, что
.
Подсчитаем двумя способами число
:
1) 
2) 
Итак,
, причём
. Следовательно,
и
.
Пример 3. В примере 1 было показано, что любой собственный вектор матрицы
, соответствующий собственному числу
, имеет вид
, где
.
Любой собственный вектор той же матрицы, соответствующий собственному числу
, имеет вид
, где числа
и
не равны нулю одновременно.
Подсчитаем число
. Следовательно, результат вычисления согласуется с теоремой 5, и
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: